【題目】已知直線y=kx+b與拋物線y=ax2(a>0)相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸正半軸相交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)A作ADx軸,垂足為D.

(1)若∠AOB=60°,AB∥x軸,AB=2,求a的值;

(2)若AOB=90°,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣4,AC=4BC,求點(diǎn)B的坐標(biāo);

(3)延長(zhǎng)AD、BO相交于點(diǎn)E,求證:DE=CO.

【答案】1;(2B1 );(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:1)如圖1,由條件可知AOB為等邊三角形,則可求得OA的長(zhǎng),在RtAOD中可求得ADOD的長(zhǎng),可求得A點(diǎn)坐標(biāo),代入拋物線解析式可得a的值;

2)如圖2,作輔助線,構(gòu)建平行線和相似三角形,根據(jù)CFBG,由A的橫坐標(biāo)為-4,得B的橫坐標(biāo)為1,所以A-416a),B1a),證明ADO∽△OEB,則,得a的值及B的坐標(biāo);

3)如圖3,設(shè)AC=nBC由(2)同理可知:A的橫坐標(biāo)是B的橫坐標(biāo)的n倍,則設(shè)Bm,am2),則A-mn,am2n2),分別根據(jù)兩三角形相似計(jì)算DECO的長(zhǎng)即可得出結(jié)論.

試題解析:1)如圖1

拋物線y=ax2的對(duì)稱軸是y軸,且AB∥x軸,

∴AB是對(duì)稱點(diǎn),O是拋物線的頂點(diǎn),

∴OA=OB,

∵∠AOB=60°,

∴△AOB是等邊三角形,

∵AB=2AB⊥OC,

∴AC=BC=1,∠BOC=30°,

OC=,

A-1, ),

A-1 )代入拋物線y=ax2a0)中得:a=;

2)如圖2,過(guò)BBE⊥x軸于E,過(guò)AAG⊥BE,交BE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,交y軸于F

∵CF∥BG,

∵AC=4BC,

=4,

∴AF=4FG,

∵A的橫坐標(biāo)為-4

∴B的橫坐標(biāo)為1,

∴A-4,16a),B1a),

∵∠AOB=90°

∴∠AOD+∠BOE=90°

∵∠AOD+∠DAO=90°,

∴∠BOE=∠DAO,

∵∠ADO=∠OEB=90°

∴△ADO∽△OEB,

,

∴16a2=4

a=±,

∵a0

a=;

B1 );

3)如圖3,

設(shè)AC=nBC,

由(2)同理可知:A的橫坐標(biāo)是B的橫坐標(biāo)的n,

則設(shè)Bmam2),則A-mnam2n2),

∴AD=am2n2

過(guò)BBF⊥x軸于F,

∴DE∥BF,

∴△BOF∽△EOD,

,

,

,DE=am2n,

,

∵OC∥AE,

∴△BCO∽△BAE,

,

CO==am2n

∴DE=CO

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