【題目】已知正方形ABCD和正方形CGEF,且D點在CF邊上,M為AE中點,連接MD、MF,

(1)如圖1,請直接給出線段MD、MF的數(shù)量及位置關(guān)系是 ;

(2)如圖2,把正方形CGEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn),則(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請證明;若不成立,請給出你的結(jié)論并證明;

(3)若將正方形CGEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°時,CF邊恰好平分線段AE,請直接寫出的值.

【答案】(1)MD=MF,MDMF;(2)MD=MF,MDMF仍成立,理由詳見解析;(3)

【解析】

試題分析:(1)延長DM交EF于點P,易證AM=EM,即可證明ADM≌△EPM,可得DM=PM,根據(jù)DFP是直角三角形即可解題;

(2)延長DM交CE于點N,連接FN、DF,易證DAM=NEM,即可證明ADM≌△ENM,可得EN=AD,DM=MN,可證CD=EN,即可證明CDF≌△ENF,可得DF=NF,即可解題;

(3)根據(jù)(1)可得MD=MF,MDMF,若CF邊恰好平分線段AE,則CF過點M,最后根據(jù)RtCDM中,DCF=30°,即可求得的值.

試題解析:(1)線段MD、MF的數(shù)量及位置關(guān)系是MD=MF,MDMF,

理由:如圖1,延長DM交EF于點P,

四邊形ABCD和四邊形FCGE是正方形,

ADEF,MAD=MEP,CFE=90°.

∴△DFP是直角三角形.

M為AE的中點,

AM=EM.

ADM和EPM中,

MAD=MEPAM=EM,AMD=EMP,

∴△ADM≌△EPM(ASA),

DM=PM,AD=PE,

M是DP的中點.

MF=DP=MD,

AD=CD,

CD=PE,

FC=FE,

FD=FP,

∴△DFP是等腰直角三角形,

FMDP,即FMDM.

故答案為:MD=MF,MDMF;

(2)MD=MF,MDMF仍成立.

證明:如圖2,延長DM交CE于點N,連接FN、DF,

CE是正方形CFEG對角線,

∴∠FCN=CEF=45°,

∵∠DCE=90°,

∴∠DCF=45°,

ADBC,

∴∠DAM=NEM,

ADM和ENM中,MAD=NEM,AM=EM,AMD=EMN,

∴△ADM≌△ENM(ASA),

EN=AD,DM=MN,

AD=CD,

CD=EN,

CDF和ENF中,

CD=EN,DCF=CEF=45°,CF=EF,

∴△CDF≌△ENF,(SAS)

DF=NF,

FM=DM,F(xiàn)MDM.

(3)如圖所示,若CF邊恰好平分線段AE,則CF過點M,

由(1)可得FM=DM,F(xiàn)MDM,

設(shè)FM=DM=1,

∵∠DCF=30°,

RtDCM中,CM=,CD=2=CB,

CF=+1=CG,

=

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(1)根據(jù)圖示填寫下表

平均數(shù)(分)

中位數(shù)(分)

眾數(shù)(分)

初中部

85

高中部

85

100

(2)結(jié)合兩隊成績的平均數(shù)和中位數(shù),分析哪個隊的決賽成績較好;

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﹣0.8

+1

﹣1.2

0

﹣0.7

+0.6

﹣0.4

﹣0.1


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