Question

如圖，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路a經(jīng)過A、B兩個景點，景區(qū)管委會又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點C，經(jīng)測量景點C位于景點A的北偏東30°方向8km處，位于景點B的正北方向，已知AB=5km．
（1）求景點B與景點為C的距離；（結(jié)果保留根號）
（2）為方便游客到景點游玩，景區(qū)管委會準(zhǔn)備由景點C向公路a修建一條距離最短的公路，不考慮其它因素，求出這條公路的長．（結(jié)果精確到0.1km．參考數(shù)據(jù)：

3

=1.73，

5

=2.24）

Answer 1

考點：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題

專題：

分析：（1）過點A作AD⊥CB，交CB的延長線于點D，先解Rt△ADC，得出CD=4

3

，再解Rt△ABD，得出BD=3，則BC=CD-BD；
（2）過點C作CE⊥AB于點E．在Rt△CBE中，由正弦函數(shù)的定義即可求解．

解答：解：（1）如圖，過點A作AD⊥CB，交CB的延長線于點D．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，
∴AD=

1

2

AC=

1

2

×8=4，
∴CD=

AC2-AD2

=4

3

．
在Rt△ABD中，BD=

AB2-AD2

=

52-42

=3，
∴BC=CD-BD=4

3

-3，
答：景點B與景點為C的距離為（4

3

-3）km；

（2）過點C作CE⊥AB于點E．sin∠ABD=

AD

AB

=

4

5

．
在Rt△CBE中，sin∠CBE=

CE

CB

，
∵∠ABD=∠CBE，
∴sin∠CBE=

4

5

，
∴CE=CB•sin∠CBE=（4

3

-3）×

4

5

=

16 3 -12

5

≈3.1（km）．
答：這條公路長約為3.1km．

點評：本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．