Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+b（k≠0）分別交雙曲線于A、B兩點，交x軸于點D，在x軸上有一點C（3，0），且AD=5，CD=4，sin∠ADC=，B（-3，n）．
（1）求該雙曲線與直線AB的解析式；
（2）連接BC，求△ABC的面積．

Answer 1

解：（1）過A作AE⊥CD于E，
∵在Rt△ADE中，sin∠ADC==，
∴設AE=a，則AD=5a=5，
∴a=1，
∴AE=4a=4，
∴在Rt△ADE中，DE==3，
∵C（3，0），CD=4，
∴D（-1，0），
∴E（2，0），
∴A（2，4），
∵雙曲線y=過A（2，4），
∴=4，
∴m=8，
∴y=，
∵直線y=kx+b過A（2，4）、D（-1，0），
∴，
解得，
∴y=x+；

（2）∵雙曲線y=過B（-3，n），
∴n=-，
∴B（-3，-），
∴S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD=CD•AE+CD•|y_B|=×4×4+×4×=．
分析：（1）過A作AE⊥CD于E，設AE=a，則AD=5a=5，根據題意求出a的值，在Rt△ADE中，DE的長度，進而求出A點的坐標，m的值即可求出，由A點和D點坐標求出直線AB的解析式；
（2）首先求出B點坐標，根據S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD=CD•AE+CD•|y_B|求出面積的值．
點評：本題主要考查反比例函數的綜合題，解答本題的關鍵是熟練掌握反比例函數的性質以及一次函數解析式的求法，此題難度一般，是中考常考點．