Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，CD⊥AB于D，且∠COD=60°，E為弧BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)E分別作于EF⊥AB于F，EG⊥OC于G．
現(xiàn)給出以下四個(gè)命題：
①∠GEF=60°；②CD=GF；③△GEF一定為等腰三角形；④E在弧BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在某個(gè)時(shí)刻使得△GEF為等邊三角形．
其中正確的命題是

 

．（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：推理填空題

分析：①根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可證到∠GEF=60°；②連接OE，取OE的中點(diǎn)O′，連接O′F，GO′，易證點(diǎn)E、G、O、F四點(diǎn)共圓，延長(zhǎng)GO′交⊙O′于R，連接RF．利用三角函數(shù)可證到CD=GF；③運(yùn)用反證法就可得到△GEF不一定為等腰三角形；④由于∠GEF=60°，要使得△GEF為等邊三角形，只需要EG=EF即可，在⊙O′中只需∠COE=∠BOE即可，在⊙O中，只需點(diǎn)E在

BC

的中點(diǎn)即可．

解答：解：①∵EF⊥AB，EG⊥OC，
∴∠EGO=∠EFO=90°．
∴∠GEF+∠GOF=180°．
∵∠GOF=180°-∠COD=180°-60°=120°，
∴∠GEF=180°-120°=60°．
故①正確．
②連接OE，取OE的中點(diǎn)O′，連接O′F，GO′，如圖所示．
∵∠EGO=∠EFO=90°，點(diǎn)O′是OE的中點(diǎn)，
∴O′G=O′F=

1

2

OE．
∴點(diǎn)E、G、O、F在以點(diǎn)O′為圓心，O′O為半徑的圓上．
延長(zhǎng)GO′交⊙O′于R，連接RF．
則有∠GRF=∠GEF=60°．
∵GR是⊙O′的直徑，∴∠GFR=90°．
∴GF=GR•sin∠GRF=OE•sin60°=

3

2

OE=

3

2

OC=CD．
故②正確．
③假設(shè)△EGF一定是等腰三角形，
∵∠GEF=60°，∴△EGF一定是等邊三角形．
∴EG與EF一定相等．
但E為弧BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），顯然EG與EF不一定相等．
∴假設(shè)不成立．
故③錯(cuò)誤．
④當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到

BC

的中點(diǎn)時(shí)，
則有∠COE=∠BOE．
∴EG=EF．
∵∠GEF=60°，
∴△EGF是等邊三角形．
故④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的內(nèi)角和定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、圓周角定理、銳角三角函數(shù)、等邊三角形的判定等知識(shí)，而構(gòu)造輔助圓是證明②是真命題的關(guān)鍵，運(yùn)用反證法是說(shuō)明③是假命題的關(guān)鍵．