等邊△OAB在平面直角坐標(biāo)系中(圖1),已知點(diǎn)A(2,0),將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a°(0<a<360)得△OA1B1
(1)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)a=30°時(shí),求△OAB與△OA1B1重合部分(圖2中的陰影部分)的面積;
(3)當(dāng)A1,B1的縱坐標(biāo)相同時(shí),求a的值;
(4)當(dāng)60<a<180時(shí),設(shè)直線A1B1與BA相交于點(diǎn)P,PA、PB1的長(zhǎng)是方程x2-mx+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

解:(1)B的坐標(biāo)是(1,);

(2)圖2中的陰影部分的面積=S△OAN-S△QAM
=×1××
=6-;

(3)當(dāng)A1,B1的縱坐標(biāo)相同時(shí),A1B1∥x軸,
∴a1=120°或a2=300°;

(4)連接AB1,

∵OA=OB1=2,
∴∠OAB1=∠0B1A
∴∠PB1G=∠B1AH,
又∵∠PAB1=180°-60°-∠B1AH=120°-∠B1AH
∠PB1A=180°-60°-∠AB1G=120°-∠AB1G
∴∠PAB1=∠PB1A,
∴PA=PB1
∴方程x2-mx+m=0的兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根,
△=(-m)2-4m=0
m1=0(舍去),m2=4
方程為:x2-4x+4=0,
解得:x1=x2=2,
∴PA=PB1=2
在直角△APM中,PM=AP•sin60°=2×=
AM=AP•cos60°=1,則OM=OA-AM=3-1=2.
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,
分析:(1)根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)可知,正三角形的邊長(zhǎng)是2,過(guò)B作x軸的垂線,根據(jù)三角函數(shù)即可求得;
(2)陰影部分的面積=S△OAN-S△QAM,而這兩個(gè)三角形的面積很容易得到;
(3)當(dāng)A1,B1的縱坐標(biāo)相同時(shí),A1B1∥x軸,a1=120°或a2=300°
(4)可以證明PA=PB1,即方程x2-mx+m=0的兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根,根據(jù)根的判別式即可求得m的值,從而求得PA,PB1的長(zhǎng),得到P的坐標(biāo).
點(diǎn)評(píng):本題綜合運(yùn)用了平行于x軸的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系,以及一元二次方程的根的判別式,題目難度較大.
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(1)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)a=30°時(shí),求△OAB與△OA1B1重合部分(圖2中的陰影部分)的面積;
(3)當(dāng)A1,B1的縱坐標(biāo)相同時(shí),求a的值;
(4)當(dāng)60<a<180時(shí),設(shè)直線A1B1與BA相交于點(diǎn)P,PA、PB1的長(zhǎng)是方程x2-mx+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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(2)當(dāng)a=30°時(shí),求△OAB與△OA1B1重合部分(圖2中的陰影部分)的面積;
(3)當(dāng)A1,B1的縱坐標(biāo)相同時(shí),求a的值;
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