Question

反比例函數(shù)y=

k

x

與直線y=

3

3

x交于A、B兩點(diǎn)，（A在第一象限，B在第三象限）且AB=2

6

，
（1）求反比例函數(shù)的解析式．
（2）若拋物線y=x²上存在點(diǎn)C，平面內(nèi)存在點(diǎn)D，使得四邊形ACBD是矩形（AB為對角線），求D點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）若拋物線y=x²+bx+c上存在兩點(diǎn)E、F，使得四邊形AEBF為菱形（EF為對角線），
①當(dāng)c=-1時，求b的值．
②要使（3）中滿足條件的點(diǎn)E、F存在，求c的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)A（x，

3

3

x），則B（-x，-

3

3

x），再根據(jù)AB=2

6

即可得出x的值，進(jìn)而得出AAB兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=

k

x

上求出k的值即可得出其函數(shù)解析式；
（2）設(shè)D（x，y），再求出OA的長，根據(jù)OA=OD即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)C、D兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱即可得出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）①根據(jù)四邊形AEBF為菱形（EF為對角線），直線AB的解析式為y=

3

3

x可得出直線EF的解析式，設(shè)E（x，-

3

x），則F（-x，

3

x），再根據(jù)點(diǎn)E、F是直線與二次函數(shù)的交點(diǎn)即可得出b的值；
②直接根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵A、B兩點(diǎn)在直線y=

3

3

x上，
∴A（x，

3

3

x），則B（-x，-

3

3

x），
∵AB=2

6

，
∴

(x+x)2+( 3 3 x+ 3 3 x)2

=2

6

，
解得x=±

3 2

2

，
∴A（

3 2

2

，

6

2

），B（-

3 2

2

，-

6

2

）．
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=

k

x

上，
∴k=

3 2

2

×

6

2

=

3 3

2x

，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

3 3

2x

；

（2）設(shè)D（x，y），
∵四邊形ACBD是矩形（AB為對角線），A（

3 2

2

，

6

2

），
∴OA=

( 3 2 2 )2+( 6 2 )2

=

6

，
∴OA=OA=

6

，即

x2+y2

=

6

，
∵點(diǎn)D在二次函數(shù)y=x²上，
∴

y+y2

=

6

，解得y=2，
∴C₁（

2

，2），C₂（-

2

，2），
∵C、D兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴D₁（

2

，-2），D₂（-

2

，-2），

（3）①∵四邊形AEBF為菱形（EF為對角線），直線AB的解析式為y=

3

3

x，
∴EF⊥AB，直線EF的解析式為y=-

3

x．
∵c=1，
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²+bx-1，
設(shè)E（x，-

3

x），則F（-x，

3

x），
∵點(diǎn)E、F是直線與二次函數(shù)的交點(diǎn)，
∴

x2+bx-1=- 3 x x2-bx-1= 3 x

，解得b=-

3

；
②∵四邊形AEBF為菱形（EF為對角線），
∴拋物線y=x²+bx+c一定與x軸有兩個交點(diǎn)，
∴c＜0．

點(diǎn)評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到矩形與菱形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，難度較大．