Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，正方形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點B的坐標為（4，4），反比例函數(shù)y=（x＞0，k≠0）的圖象經(jīng)過線段BC的中點D交AB于點E，點P在該反比例函數(shù)的圖象上運動（不與點D、E重合），過點P作PQ⊥BC所在直線于點Q，設點P的坐標為（x，y）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）當點p的坐標為（，y）時，判斷四邊形PQEB的形狀，并說明理由；
（3）是否存在點P，使三角形PQE的面積為6？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵正方形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點B的坐標為（4，4），
∴C（0，4），
∵D是BC的中點，
∴D（2，4），
∵反比例函數(shù)y=（x＞0，k≠0）的圖象經(jīng)過點D，
∴k=8，
所以y=（x＞0）；

（2）四邊形PQEB是平行四邊形，理由為：
當x=時，得y=6，
∴PQ=6-4=2，
又當x=4時，得y=2，
∴E（4，2），
∴BE=2，
又PQ⊥BC，AB⊥BC，
所以BE平行且等于PQ，
∴四邊形PQEB是平行四邊形；
（3）存在點P，使△PQE的面積為6，設P（x，），
①當P在直線BC的上方，即0＜x＜2時，
∴PQ=，PQ=4-x，
又三角形PQE的面積為6=（4-x）=6，
解得：x=1或x=8（舍去），
∴P（1，8）；
②當P在直線BC的下方且在點E的左側(cè)，即2＜x＜4時，
∴PQ=4-，PQ=4-x，
又三角形PQE的面積為6=（4-）（4-x）=6，
得x²-3x+8=0
∵△＜0，次方程無實數(shù)根，
故點P不存在；
③
當P在直線BC的下方且在點E的右側(cè)，即x＞4時，
∴PQ=4-，PQ=x-4，
又三角形PQE的面積為6=（4-）（x-4）=6，
解得：x=1（舍去）或x=8，
∴P（8，1）；
綜上，存在點P（1，8）或P（8，1），△PQE的面積為6；
分析：（1）根據(jù)正方形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點B的坐標為（4，4）得到C（0，4），然后根據(jù)D是BC的中點，得到D（2，4），
最后反比例函數(shù)y=（x＞0，k≠0）的圖象經(jīng)過點D，求得k=8，從而得到反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)當x=時，得y=6，得到PQ=6-4=2，然后根據(jù)當x=4時，得y=2，得到E（4，2），結(jié)合又PQ⊥BC，AB⊥BC，證得四邊形PQEB是平行四邊形；
（3）設P（x，），分當P在直線BC的上方，即0＜x＜2時、當P在直線BC的下方且在點E的左側(cè)，即2＜x＜4時、當P在直線BC的下方且在點E的右側(cè)，即x＞4時三種情況分類討論即可得到答案．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合知識，難度較大，綜合性較強，往往是中考的壓軸題，應重點訓練．