Question

已知：如圖，在矩形ABCD中，把∠B、∠D分別翻折，使點B、D分別落在對角線BC上的點E、F處，折痕分別為CM、AN．
（1）求證：△ADN≌△CBM．
（2）請連接MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形，四邊形MFNE是菱形嗎？請說明理由．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,全等三角形的判定與性質,平行四邊形的判定,菱形的判定,矩形的性質

專題：

分析：（1）根據(jù)折疊的性質得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，從而根據(jù)AD∥BC可得出∠DAN=∠BCM，從而即可判斷出△ADN≌△CBM．
（2）連接NE、MF，根據(jù)（1）的結論可得出NF=ME，再由∠NFE=∠MEF可判斷出NF∥ME，在直角三角形EMF中，F(xiàn)M為斜邊，EM為直角邊，可判斷四邊形MFNE不是菱形．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC．
∴∠DAC=∠BCA．
又由翻折的性質，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=∠BCM，
∴∠DAN=∠BCM．
在△AND和△CBM中，

∠D=∠B AD=BC ∠DAN=∠BCM

，
△AND≌△CBM（ASA）．

（2）證明：連接NE、MF，

∵△AND≌△CBM，
∴DN=BM．
又由翻折的性質，得DN=FN，BM=EM，
∴FN=EM．
又∵∠NFA=∠ACD+∠CNF=∠BAC+∠EMA=∠MEC，
∴FN∥EM．
∴四邊形MFNE是平行四邊形．
四邊形MFNE不是菱形，理由如下：
由翻折的性質，得∠CEM=∠B=90°，
∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM．
∴FM＞EM．
∴四邊形MFNE不是菱形．

點評：本題主要考查翻折變換的知識點，涉及全等三角形的判定與性質、平行四邊形、菱形的判定，以及矩形的性質的知識．