【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AG∥CD交BC于點G,點E、F分別為AG、CD的中點,連接DE、FG.
(1)求證:四邊形DEGF是平行四邊形;
(2)當點G是BC的中點時,求證:四邊形DEGF是菱形.
【答案】證明見詳解.
【解析】
(1)求出平行四邊形AGCD,推出CD=AG,推出EG=DF,EG∥DF,根據(jù)平行四邊形的判定推出即可.
(2)連接DG,求出∠DGC=90°,求出DF=GF,根據(jù)菱形的判定推出即可.
(1)∵AG∥DC,AD∥BC,
∴四邊形AGCD是平行四邊形
∴AG=DC
∵E、F分別為AG、DC的中點,
∴GE=AG,DF=DC,
即GE=DF,GE∥DF
∴四邊形DEGF是平行四邊形
(2)連接DG,
∵四邊形AGCD是平行四邊形,
∴AD=CG
∵G為BC中點,
∴BG=CG=AD
∵AD∥BG,
∴四邊形ABGD是平行四邊形
∴AB∥DG
∵∠B=90°,
∴∠DGC=∠B=90°
∵F為CD中點,
∴GF=DF=CF,
即GF=DF
∵四邊形DEGF是平行四邊形,
∴四邊形DEGF是菱形.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=9,把矩形ABCD沿對角線BD折疊,使點C與點F重合,BF交AD于點M,過點C作CE⊥BF于點E,交AD于點G,則MG的長= .
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【題目】如圖,△OAC和△BAD都是等腰直角三角形,∠ACO=∠ADB=90°,反比例函數(shù)y=在第一象限的圖象經(jīng)過點B,則△OAC與△BAD的面積之差S△OAC﹣S△BAD為( 。
A. 36 B. 12 C. 6 D. 3
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【題目】如圖1,正方形ABCD的邊長為2,點M是BC的中點,P是線段MC上的一個動點(不與M、C重合),以AB為直徑作⊙O,過點P作⊙O的切線,交AD于點F,切點為E.
(1)求證:OF∥BE;
(2)設(shè)BP=x,AF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)延長DC、FP交于點G,連接OE并延長交直線DC于H(圖2),問是否存在點P,使△EFO∽△EHG(E、F、O與E、H、G為對應(yīng)點)?如果存在,試求(2)中x和y的值;如果不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,∠ABC=2∠D,連接OA、OB、OC、AC,OB與AC相交于點E,若∠COB=3∠AOB,OC=2 ,則圖中陰影部分面積是(結(jié)果保留π和根號)
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【題目】如圖,一個粒子在第一象限內(nèi)及x軸、y軸上運動,在第一分鐘,它從原點運動到點(1,0),第二分鐘,它從點(1,0)運動到點(1,1),而后它接著按圖中箭頭所示在與x軸,y軸平行的方向上來回運動,且每分鐘移動1個單位長度,那么在第2019分鐘時,這個粒子所在位置的坐標是( )
A. (44,5) B. (5,44) C. (44,6) D. (6,44)
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【題目】如圖,PA、PB是⊙O的切線,A,B為切點,∠OAB=30度.
(1)求∠APB的度數(shù);
(2)當OA=3時,求AP的長.
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【題目】已知A(2,1),B(2,4).
(1)若直線l:y=x+b與AB有一個交點.
則b的取值范圍為_______________;
(2)若直線l:y=kx與AB有一個交點.
則k的取值范圍為_______________.
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【題目】我們知道三角形任意兩條中線的交點是三角形的重心.重心有如下性質(zhì):重心到頂點的距離是重心到對邊中點距離的2倍,請利用該性質(zhì)解決問題:
(1)如圖1,在中,、是中線,于點,若,,則 , ;
(2)如圖1,在中,,,,、是中線,于點,猜想、、三者之間的關(guān)系并證明;
(3)如圖2,在中,點,,分別是,,的中點,,,.求AF的長.
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