Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，Rt△OAB的直角邊OA在x軸的正半軸上，點B坐標為（，1），以O(shè)B所在直線為對稱軸將△OAB作軸對稱變換得△OCB．現(xiàn)有動點P從點O出發(fā)，沿線段OA向點A運動，動點Q從點C出發(fā)，沿線段CO向點O運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度．設(shè)點P運動的時間為t秒．
（1）求∠AOC的度數(shù)；
（2）若四邊形BCQP的面積為S（平方單位），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)PQ與OB交于點M，
①當(dāng)△OMQ為等腰三角形時，求t的值．
②探究線段OM長度的最大值是多少，直接寫出結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）判斷出△OCB≌△OAB，故可得到∠COB=∠AOB=30°，根據(jù)折疊不變性即可得到∠AOC=60；
（2）根據(jù)S=2S_△OAB-S_△OPQ-S_△PAB，再結(jié)合三角形的面積公式，即可建立S和t的關(guān)系式．
（3）若△OMQ為等腰三角形，則OM=MQ，OM=OQ或MQ=OQ，對每種情況進行解答，關(guān)鍵是將各邊的表達式代入即可．
解答：解：（1）∵在Rt△OAB中，，
∴，即∠AOB=30°，
∵△OCB≌△OAB，
∴∠COB=∠AOB=30°，
∴∠AOC=60°；

（2）∵OP=CQ=t，，
∴，
∴S=2S_△OAB-S_△OPQ-S_△PAB，
=，
=，
=；

（3）①若△OMQ為等腰三角形，則：
（i）如圖①所示，若OM=MQ，∠MQO=∠QOM=30°，
∵∠AOC=60°，
∴∠OPQ=90°，
∴，即，
解得：．
（ii）如圖②所示，若OM=OQ，∠OMQ=∠OQM=75°，
∵∠AOC=60°，
∴∠OPQ=45°，
過點Q作QE⊥OA，垂足為E，則有：
EQ=EP，即，
解得：t=1．
（iii）若MQ=OQ，∠OMQ=∠QOM=∠POM，則PQ∥OA，顯然不滿足題意．
②線段OM長的最大值為．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的最值、翻折變換、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等內(nèi)容，綜合性很強，同時要注意分類討論思想的應(yīng)用．