Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，OA＝3，AB＝4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)A落在OC邊上的點(diǎn)E處，拋物線y=ax2+bx+c過A、E、B三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若M為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△MBE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)．P點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)Ｂ時(shí)，Q點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．若△PBQ是等腰三角形，求的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-4x+3（2）（2，1）（3）2， ，

【解析】試題分析：（1）先求出A、B、E三點(diǎn)坐標(biāo)，再將A、B、E三點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c即可求得拋物線的解析式；（2）由題意可知：M為直線AE與對(duì)稱軸x=2的交點(diǎn)時(shí)，△MBE的周長(zhǎng)最小，先求出直線AE的解析式，進(jìn)而可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）根據(jù)題意，△DPQ為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論：①若PD=PQ；②若PD=DQ；③若PQ=DQ.

試題解析：

（1）∵四邊形OABC是矩形，OA=3，AB=4，∴∠OAB=∠OCB=90°，OC=AB=4，CB=OA=3．又∵OE=OA=3，

∴A﹙0，3﹚，B﹙4，3﹚，E﹙3，0﹚∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A，B，E三點(diǎn)，∴

解之得：

∴拋物線的解析式為：y=x2-4x+3．

（2）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2．

∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線x=2對(duì)稱，∴M為直線AE與對(duì)稱軸x=2的交點(diǎn)時(shí)，ME+MB的值最小，而BE的長(zhǎng)一定，此時(shí)△MBE的周長(zhǎng)最�。�

設(shè)直線AE的解析式為y=kx+m，則有

解得 ∴y=-x+3．

當(dāng)x=2時(shí)，y=1，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1）

（3）①若BP=BQ，則4-t=t，t=2

②若QP=QB，作QD⊥AB于D，則BD=（4-t），

由（4-t）：4=t：5得t=

③若QP=PB，作PE⊥QB于E，則BE=t，

由（4-t）：5=t：4得t=