Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦EF⊥AB于點C，點D是AB延長線上一點，∠A＝30°，∠D＝30°．

（1）求證：FD是⊙O的切線；

（2）取BE的中點M，連接MF，若⊙O的半徑為2，求MF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）MF＝.

【解析】

（1）如圖，連接OE，OF，由垂徑定理可知，根據(jù)圓周角定理可求出∠DOF=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠OFD=90°，即可得FD為⊙O的切線；（2）如圖，連接OM，由中位線的性質(zhì)可得OM//AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠MOB＝∠A＝30°，根據(jù)垂徑定理可得OM⊥BE，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求出BE的長，利用勾股定理可求出OM的長，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠DOF=60°，即可求出∠MOF=90°，利用勾股定理求出MF的長即可.

（1）如圖，連接OE，OF，

∵EF⊥AB，AB是⊙O的直徑，

∴，

∴∠DOF＝∠DOE，

∵∠DOE＝2∠A，∠A＝30°，

∴∠DOF＝60°，

∵∠D＝30°，

∴∠OFD＝90°，

∴OF⊥FD．

∴FD為⊙O的切線.

（2）如圖，連接OM，MF，

∵O是AB中點，M是BE中點，

∴OM∥AE．

∴∠MOB＝∠A＝30°．

∵OM過圓心，M是BE中點，

∴OM⊥BE．

∴MB=OB=1，

∴OM==，

∵∠OFD=90°，∠D=30°，

∴∠DOF＝60°，

∴∠MOF＝∠DOF+∠MOB=90°，

∴MF＝＝＝．