Question

【題目】我們知道，任意一個正整數(shù)n都可以進行這樣的分解：n=p×q（p，q是正整數(shù)，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解．并規(guī)定：F（n）= ． 例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因為12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）= ．
（Ⅰ）如果一個正整數(shù)m是另外一個正整數(shù)n的平方，我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù)．
求證：對任意一個完全平方數(shù)m，總有F（m）=1；
（Ⅱ）如果一個兩位正整數(shù)t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)），交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36，那么我們稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”；
（Ⅲ）在（2）所得“吉祥數(shù)”中，求F（t）的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：對任意一個完全平方數(shù)m，設m=n2（n為正整數(shù)）， ∵|n﹣n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴對任意一個完全平方數(shù)m，總有F（m）= =1；
（Ⅱ）設交換t的個位上數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′，則t′=10y+x，
∵t是“吉祥數(shù)”，
∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，
∴y=x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)，
∴滿足“吉祥數(shù)”的有：15，26，37，48，59；
（Ⅲ）F（15）= ，F(xiàn)（26）= ，F(xiàn)（37）= ，F(xiàn)（48）= = ，F(xiàn)（59）= ，
∵ ＞ ＞ ＞ ＞ ，
∴所有“吉祥數(shù)”中，F(xiàn)（t）的最大值為 ．
【解析】（Ⅰ）對任意一個完全平方數(shù)m，設m=n2（n為正整數(shù)），找出m的最佳分解，確定出F（m）的值即可； （Ⅱ）設交換t的個位上數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′，則t′=10y+x，根據(jù)“吉祥數(shù)”的定義確定出x與y的關系式，進而求出所求即可；
（Ⅲ）利用“吉祥數(shù)”的定義分別求出各自的值，進而確定出F（t）的最大值即可．
【考點精析】掌握因式分解的應用是解答本題的根本，需要知道因式分解是整式乘法的逆向變形，可以應用與數(shù)字計算、求值、整除性問題、判斷三角形的形狀、解方程．