Question

已知△ABC為等邊三角形，D為AB的中點，E在AC上，CE＜BD，作∠EDF=60°，交BC于點F，求證：BD-CE=EF-BF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),三角形中位線定理

專題：

分析：作DM∥BC交AC于M，延長CB至N，使BN=EM，證出△DBN≌△DME，推出DN=DE，∠BDN=∠MDE，求出∠FDN=∠EDF，證出△FDN≌△FDE，推出EF=NF，即可得出答案．

解答：證明：作DM∥BC交AC于M，延長CB至N，使BN=EM，
∵等邊三角形ABC中，D為AB中點，DM∥BC，
∴DM是△ABC的中位線，BD=

1

2

AB=

1

2

BC，∠BDM=∠DME=120°，∠ABC=60°，
∴DM=

1

2

BC=BD=CM，∠DBN=∠DME=120°，
在△DBN和△DME中

BD=DM ∠DBN=∠DME BN=ME

∴△DBN≌△DME（SAS），
∴DN=DE，∠BDN=∠MDE，
∴∠EDF=60°，∠BDM=120°，
∴∠FDN=∠FDB+∠NDB=∠FDB+∠MDE=60°=∠EDF，
在△FDN和△FDE中，

DF=DF ∠FDN=∠FDE DN=DE

，
∴△FDN≌△FDE（SAS），
∴EF=NF，
即EF-BF=NF-BF=BN，BD-CE=CM-CME=BN，
∴BD-CE=EF-BF．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線的應(yīng)用，題目比較好，有一定的難度．