Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為24cm的等邊三角形ABC中，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以每秒鐘2cm的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以每秒鐘4cm的速度移動(dòng)．若P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，其中任意一點(diǎn)到達(dá)目的地后，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，求：

（1）經(jīng)過(guò)6秒后，BP=　　　　cm，BQ=　　　　cm；

（2）經(jīng)過(guò)幾秒△BPQ的面積等于？

（3）經(jīng)過(guò)幾秒后，△BPQ是直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）12、24；（2）經(jīng)過(guò)2秒△BPQ的面積等于.（3）經(jīng)過(guò)6秒或秒后，△BPQ是直角三角形.

【解析】

（1）根據(jù)路程=速度×時(shí)間，求出BQ，AP的值就可以得出結(jié)論；
（2）作QD⊥AB于D，由勾股定理可以表示出DQ，然后根據(jù)面積公式建立方程求出其解即可；
（3）先分別表示出BP，BQ的值，當(dāng)∠BQP和∠BPQ分別為直角時(shí)，由等邊三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．

（1）由題意，得
AP=12cm，BQ=24cm．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=24cm，
∴BP=224-12=12cm．
故答案為：12、24．

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒△BPQ的面積等于，作QD⊥AB于D，則 BQ=4xcm.

∴∠QDB=90°，
∴∠DQB=30°，

在Rt△DBQ中，由勾股定理，得

解得；x1=10，x2=2，
∵x=10時(shí)，4x＞24，故舍去
∴x=2．

答：經(jīng)過(guò)2秒△BPQ的面積等于.

（3）經(jīng)過(guò)t秒后，△BPQ是直角三角形.

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=24cm，∠A=∠B=∠C=60°，
當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ．
∵BP=24-2t，BQ=4t，
∴24-2t=2×4t，

解得t=；

當(dāng)∠QPB=90°時(shí)，
∴∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，

∴4t=2×（24-2t）

解得t=6

∴經(jīng)過(guò)6秒或秒后，△BPQ是直角三角形.