Question

【題目】如圖，長(zhǎng)方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD∥BC∥x軸，AB∥DC∥y軸，x軸與y軸夾角為90°，點(diǎn)M，N分別在xy軸上，點(diǎn)A（1，8），B（1，6），C（7，6），D（7，8）．

（1）連接線(xiàn)段OB、OD、BD，求△OBD的面積；

（2）若長(zhǎng)方形ABCD在第一象限內(nèi)以每秒0.5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向下平移，經(jīng)過(guò)多少秒時(shí)，△OBD的面積與長(zhǎng)方形ABCD的面積相等請(qǐng)直接寫(xiě)出答案；

（3）見(jiàn)備用圖，連接 OB，OD，OD交BC于點(diǎn)E，∠BON的平分線(xiàn)和∠BEO的平分線(xiàn)交于點(diǎn)F．

①當(dāng)∠BEO的度數(shù)為n，∠BON的度數(shù)為m時(shí)，求∠OFE的度數(shù)．

②請(qǐng)直接寫(xiě)出∠OFE和∠BOE之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）17；（2）；（3）①∠EFO＝m+n+90°；②2∠EFO+∠BOE＝270°．

【解析】

（1）延長(zhǎng)DA交y軸于H，如圖1所示，則AH⊥y軸，然后利用S△OBD＝S△ODH﹣S△ABD﹣S梯形AHOB代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；

（2）由S△OBD＝S△ODH﹣S△ABD﹣S梯形AHOB＝S長(zhǎng)方形ABCD＝12即可列出關(guān)于t的方程，解方程即得結(jié)果；

（3）①延長(zhǎng)CB交y軸于點(diǎn)P，延長(zhǎng)EF交y軸于點(diǎn)G，如圖2，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和三角形的外角性質(zhì)解答即可；

②根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和三角形的外角性質(zhì)可得∠EFO＝90°+(∠NOB+∠BEO)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠BON+∠BEO=90°－∠BOE，進(jìn)一步即可得出結(jié)論．

解：（1）延長(zhǎng)DA交y軸于H，如圖1所示：

則AH⊥y軸．

∵A（1，8），B（1，6），C（7，6），D（7，8）

∴OH＝8，DH＝7，AH＝1，AD＝6，AB＝2，

∴S△OBD＝S△ODH﹣S△ABD﹣S梯形AHOB

＝×OH×DH﹣×AB×AD﹣×（AB+OH）×AH

＝×8×7﹣×2×6﹣×（2+8）×1＝17；

（2）∵S長(zhǎng)方形ABCD＝2×6＝12，

∴S△OBD＝S△ODH﹣S△ABD﹣S梯形AHOB＝12，

∴×（8﹣0.5t）×7﹣×2×6﹣×（2+8﹣0.5t）×1＝12，

解得：t＝；

（3）①延長(zhǎng)CB交y軸于點(diǎn)P，延長(zhǎng)EF交y軸于點(diǎn)G，如圖2，

∵EF平分∠BEO，OF平分∠NOB，

∴∠GOF＝∠NOB＝m，∠BEF＝∠BEO＝n，

∵∠EFO＝∠GOF+∠FGO，∠FGO＝∠GPE+∠BEF，

∴∠EFO＝∠GOF+∠GPE+∠BEF＝m+n+90°；

②∵EF平分∠BEO，OF平分∠NOB，

∴∠GOF＝∠NOB，∠BEF＝∠BEO，

∵∠EFO＝∠GOF+∠FGO，∠FGO＝∠GPE+∠BEF，

∴∠EFO＝∠GOF+∠GPE+∠BEF＝90°+∠NOB+∠BEO＝90°+(∠NOB+∠BEO)，

∵∠BOE＝90°﹣∠BON﹣∠BEO，

∴∠BON+∠BEO=90°－∠BOE，

∴∠EFO＝90°+(90°－∠BOE)，

即2∠EFO+∠BOE＝270°．