Question

如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)y=

k

x

（x＞0，k是常數(shù)）的圖象經(jīng)過正方形OABC的頂點B，已知正方形OABC的面積為16，點D是反比例函數(shù)圖象上一點．
（1）這個反比例函數(shù)的解析式是

 

；
（2）若△OCD的面積等于4，求D點的坐標；
（3）求出直線BD的解析式；
（4）在（2）的條件下，經(jīng)過點D存在一條直線EF垂直于CD，直接寫出直線EF的解析式．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形OABC的面積為16求出B點坐標，把B點坐標代入函數(shù)y=

k

x

，求出k的值，進而可得出反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)△OCD的面積等于4求出D點橫坐標，代入反比例函數(shù)的解析式即可；
（3）設直線BD的解析式為y=kx+b（k≠0），把B、D兩點的坐標代入求出kb的值即可；
（4）根據(jù)互相垂直的兩條直線的斜率的積等于-1求出直線EF的斜率，再把D點坐標代入求出直線EF的解析式即可．

解答：解：（1）∵正方形OABC的面積為16，
∴B（4，4），
∵點B在函數(shù)y=

k

x

（x＞0，k是常數(shù)）的圖象上，
∴4=

k

4

，解得k=16，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

16

x

．
故答案為：y=

16

x

；

（2）過點D作DE⊥y軸于點E，
∵OC=4，△OCD的面積等于4，
∴

1

2

OC•DE=

1

2

×4×DE=4，解得DE=2，
∴y=

16

2

=8，
∴D（2，8）；

（3）設直線BD的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵B（4，4），D（2，8），
∴

4k+b=4 2k+b=8

，
解得

k=-2 b=12

．
∴直線BD的解析式為y=-2x+12；

（4）∵EF⊥CD，
∴設直線EF的解析式為y=-

1

2

x+b，
∵直線EF經(jīng)過點D（2，8），
∴8=-

1

2

×2+b，
解得b=9，
∴直線EF的解析式為y=-

1

2

x+9．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點；利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式等知識，難度適中．