【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A-3,0B-1,0,與y軸相交于點(diǎn)C0,3,點(diǎn)P是該圖象上的動(dòng)點(diǎn);一次函數(shù)y=kx-4kk0的圖象過點(diǎn)P交x軸于點(diǎn)Q.

(1)求該二次函數(shù)的解析式;

(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為-4,m時(shí),求證:OPC=AQC;

(3)點(diǎn)M、N分別在線段AQ、CQ上,點(diǎn)M以每秒3個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)N以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)M、N中有一點(diǎn)到達(dá)Q點(diǎn)時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

連接AN,當(dāng)AMN的面積最大時(shí),求t的值;

線段PQ能否垂直平分線段MN?如果能,請求出此時(shí)直線PQ的函數(shù)關(guān)系式;如果不能請說明你的理由.

【答案】1y=+4x+3;2證明過程見解析;3、t=;、y=.

【解析】

試題分析:1利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式;2根據(jù)題意得出點(diǎn)P的坐標(biāo),從而得出PCx軸,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)和OQ的長度,從而得出四邊形POQC為平行四邊形,從而得出答案;3過點(diǎn)N作NDx軸于點(diǎn)D,得到QND∽△QCO,根據(jù)RtOCQ得出CQ的長度,根據(jù)相似得出ND的長度,然后得出S與t的函數(shù)關(guān)系式,求出最大值;假設(shè)PQ垂直平分線段MN,則QM=NQ,根據(jù)RtMNDRtEQM,得出段E的坐標(biāo),然后求出直線QE的函數(shù)解析式.

試題解析:1拋物線的解析式為:y=+4x+3

2當(dāng)x=-4時(shí),y=3,P(-4,3).

C(0,3),PC=4且PCx軸.

一次函數(shù)y=kx-4k(k0)的圖象交x軸于點(diǎn)Q,當(dāng)y=0時(shí),x=4,

Q4,0,即OQ=4.PC=OQ,

PCx軸, 四邊形POQC是平行四邊形

∴∠OPC=AQC.

3、過點(diǎn)N作NDx軸于點(diǎn)D,則NDy軸. ∴△QND∽△QCO,

在RtOCQ中,CQ==5,

,

ND=5-t

SAMNAM·ND=·3t·5-t=-

0x

當(dāng)t=時(shí),AMN的面積最大

、能.假設(shè)PQ垂直平分線段MN,則QM=NQ,

7-3t=5-t, t=1.此時(shí)AM=3, 即點(diǎn)M與點(diǎn)O重合, QM=NQ=4.

如圖,設(shè)PQ交y軸于點(diǎn)E

∵∠MND=90°NMD=MQE,

RtMNDRtEQM,

ND=,DQ=,

MD=,

MD=.

E0,,

Q4,0

直線QE為y=. 即直線PQ為y=

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