Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點(diǎn)B、C）上任意一點(diǎn),P是BC延長線上一點(diǎn)，N是∠DCP的平分線上一點(diǎn)．若∠AMN=90°，求證：AM=MN．

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．

證明：在邊AB上截取AE=MC，連ME．

正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．

∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB

=180°—∠B—∠AMB

=∠MAB=∠MAE．

（下面請你完成余下的證明過程）

（2）若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2）,N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)∠AMN=60°時，結(jié)論AM=MN是否還成立？請說明理由．

（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正邊形ABCD…X”，請你作出猜想：當(dāng)∠AMN=°時，結(jié)論AM=MN仍然成立．（直接寫出答案，不需要證明）

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）仍然成立 (3)

【解析】試題分析：（1）要證明AM=MN，可證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在AB上取一點(diǎn)E，使AE=CM，連接ME，利用ASA即可證明△AEM≌△MCN，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊成比例得出AM=MN．

（2）同（1），要證明AM=MN，可證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在AB上取一點(diǎn)E，使AE=CM，連接ME，利用ASA即可證明△AEM≌△MCN，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊成比例得出AM=MN．

（3）由（1）（2）可知，∠AMN等于它所在的正多邊形的一個內(nèi)角即等于時，結(jié)論AM=MN仍然成立．

（1）證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME．

∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．

∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE，

BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM，

∴∠BEM=45°，∴∠AEM=135°．

∵N是∠DCP的平分線上一點(diǎn)，

∴∠NCP=45°，∴∠MCN=135°．

在△AEM與△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，

∴△AEM≌△MCN（ASA），

∴AM=MN．

（2）解：結(jié)論AM=MN還成立

證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME．

在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC．

∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAE，

BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM，

∴∠BEM=60°，∴∠AEM=120°．

∵N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，

∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120°．

在△AEM與△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，

∴△AEM≌△MCN（ASA），

∴AM=MN．

（3）解：若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X，則當(dāng)∠AMN=時，結(jié)論AM=MN仍然成立．