【題目】如圖1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC= 90°,AB=AC,四邊形ADEF是正方形,點(diǎn)B、C分別在邊AD、AF上,此時(shí)BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ(0°<θ<90°)時(shí),如圖2,BD=CF成立嗎?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí),如圖3,延長(zhǎng)DB交CF于點(diǎn)H.
①求證:BD⊥CF;
②當(dāng)AB=2,AD=3時(shí),求線段DH的長(zhǎng).
【答案】(1)BD=CF成立,理由詳見(jiàn)解析;(2)①詳見(jiàn)解析;②.
【解析】
試題分析:(1)先用“SAS”證明△CAF≌△BAD,再用全等三角形的性質(zhì)即可得BD=CF成立;(2)利用△HFN與△AND的內(nèi)角和以及它們的等角,得到∠NHF=90°,即可得①的結(jié)論;(3)連接DF,延長(zhǎng)AB,與DF交于點(diǎn)M,利用△BMD∽△FHD求解.
試題解析:(l)解:BD=CF成立.
證明:∵AC=AB,∠CAF=∠BAD=θ;AF=AD,△ABD≌△ACF,∴BD=CF.
(2)①證明:由(1)得,△ABD≌△ACF,∴∠HFN=∠ADN,
在△HFN與△ADN中,∵∠HFN=∠AND,∠HNF=∠AND,∴∠NHF=∠NAD=90°,
∴HD⊥HF,即BD⊥CF.
②解:如圖,連接DF,延長(zhǎng)AB,與DF交于點(diǎn)M.
在△MAD中,∵∠MAD=∠MDA=45°,∴∠BMD=90°.
在Rt△BMD與Rt△FHD中,∵∠MDB=∠HDF,∴△BMD∽△FHD.
∴AB=2,AD=3,四邊形ADEF是正方形,∴MA=MD==3.
∴MB=3-2=1,DB==.
∵=.∴=.
∴DH=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列運(yùn)算正確的是( )
A.2x+3y=5xyB.x2·x3=x6
C.x3÷x=x2D.(2x2)3=6x6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩家體育用品商店出售同樣的乒乓球拍和乒乓球,乒乓球拍每副定價(jià)元,乒乓球每盒定價(jià)元,現(xiàn)兩家商店搞促銷活動(dòng),甲店:每買一副乒乓球拍贈(zèng)送一盒乒乓球;乙店:按定價(jià)的九折優(yōu)惠.某人需購(gòu)球拍副,乒乓球若干盒(不少于盒).
()設(shè)購(gòu)買乒乓球盒數(shù)為(盒),在甲商店付款為(元),在乙商店付款為(元),分別寫出, 與的關(guān)系式.
()就乒乓球盒數(shù)討論去哪家商店買更優(yōu)惠.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠A=70°,∠B=55°,則△ABC是( )
A. 鈍角三角形 B. 等腰三角形
C. 等邊三角形 D. 等腰直角三角形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在正方形ABCD中,M是BC邊(不含端點(diǎn)B、C)上任意一點(diǎn),P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),N是∠DCP的平分線上一點(diǎn).若∠AMN=90°,求證:AM=MN.
下面給出一種證明的思路,你可以按這一思路證明,也可以選擇另外的方法證明.
證明:在邊AB上截取AE=MC,連ME.
正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC.
∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB
=180°—∠B—∠AMB
=∠MAB=∠MAE.
(下面請(qǐng)你完成余下的證明過(guò)程)
(2)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”(如圖2),N是∠ACP的平分線上一點(diǎn),則當(dāng)∠AMN=60°時(shí),結(jié)論AM=MN是否還成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正邊形ABCD…X”,請(qǐng)你作出猜想:當(dāng)∠AMN=°時(shí),結(jié)論AM=MN仍然成立.(直接寫出答案,不需要證明)
圖1 圖2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下表記錄了甲、乙、丙、丁四名八年級(jí)學(xué)生最近幾次校數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)與方差:
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
平均數(shù)(分) | 115 | 110 | 115 | 110 |
方差 | 3.4 | 3.4 | 7.3 | 8.5 |
根據(jù)表中數(shù)據(jù),要從中選擇一名成績(jī)好且發(fā)揮穩(wěn)定的學(xué)生參加市數(shù)學(xué)競(jìng)賽,應(yīng)該選擇( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
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【題目】測(cè)量計(jì)算是日常生活中常見(jiàn)的問(wèn)題,如圖,建筑物BC的屋頂有一根旗桿AB,從地面上D點(diǎn)處觀測(cè)旗桿頂點(diǎn)A的仰角為50°,觀測(cè)旗桿底部B點(diǎn)的仰角為45°,(可用的參考數(shù)據(jù):sin50°≈0.8,tan50°≈1.2)
(1)若已知CD=20米,求建筑物BC的高度;(2)若已知旗桿的高度AB=5米,求建筑物BC的高度.
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【題目】已知,△ABC、△DCE均為等邊三角形,且B、C、E三點(diǎn)在一條直線上,BD與AE相交于O點(diǎn).
(1)求證:△BCD≌△ACE;
(2)求∠DOE的度數(shù);
(3)連接MN,求證:MN∥BE.
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