Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD交于點O，且AC=80，BD=60．動點M，N分別以每秒1個單位的速度從點A，D同時出發(fā)，分別沿A→O→D和D→A運動，當點N到達點A時，M，N同時停止運動．設運動時間為t秒．

（1）求菱形ABCD的周長．

（2）設△DMN的面積為S，求S關于t的解析式，并求S的最大值（提示：需分兩種情況討論）．

　

Answer 1

【考點】四邊形綜合題．

【分析】（1）根據(jù)勾股定理及菱形的性質，求出菱形的周長；

（2）在動點M、N運動過程中：①當0＜t≤40時，如答圖1所示，②當40＜t≤50時，如答圖2所示．分別求出S的關系式，然后利用二次函數(shù)的性質求出最大值．

【解答】解：（1）在菱形ABCD中，

∵四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD交于點O，且AC=80，BD=60，

∴OA=40，OD=30，

∵AC⊥BD，

∴AD==50．

∴菱形ABCD的周長為200．

（2）過點M作MP⊥AD，垂足為點P．

①當0＜t≤40時，如圖1，

∵，

∴MP=AM•sin∠OAD=．

∴．

∵S隨t的增大而增大，

∴當t=40時，最大值為480；

②當40＜t≤50時，如圖2，

∴MD=80﹣t．

∵，

∴MP=．

∴===+490．

∵S隨t的增大而減小，

∴當t=40時，最大值為480．

綜上所述，S的最大值為480．

【點評】本題考查了菱形的性質、勾股定理、解直角三角形、二次函數(shù)極值等知識點，涉及考點較多，有一定的難度．第（2）問中，動點M在線段AO和OD上運動時，是兩種不同的情形，需要分類討論；