Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）連接BC，點P為拋物線上第一象限內(nèi)一動點，當(dāng)△BCP面積最大時，求點P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點D是拋物線的對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在點Q，使以點B，C，D，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

把C（0，3）代入得a1（﹣3）=3，解得a=﹣1，

所以拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3

（2）

解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，

把B（3，0），C（0，3）代入得 ，解得 ，

所以直線BC的解析式為y=﹣x+3，

作PM∥y軸交BC于M，如圖1，

設(shè)P（x，﹣x2+2x+3），（0＜x＜3），則M（x，﹣x+3），

∴PM=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x，

∴S△PCB= 3PM=﹣ x2+ =﹣ （x﹣ ）2+ ，

當(dāng)x= 時，△BCP的面積最大，此時P點坐標(biāo)為（ ， ）

（3）

解：如圖2，

拋物線的對稱軸為直線x=1，

當(dāng)四邊形BCDQ為平行四邊形，設(shè)D（1，a），則Q（4，a﹣3），

把Q（4，a﹣3）代入y=﹣x2+2x+3得a﹣3=﹣16+8+3，解得a=﹣2，

∴Q（4，﹣5）；

當(dāng)四邊形BCQD為平行四邊形時，設(shè)D（1，a），則Q（﹣2，3+a），

把Q（﹣2，3+a）代入y=﹣x2+2x+3得3+a=﹣4﹣4+3，解得a=﹣8，

∴Q（﹣2，﹣5）；

當(dāng)四邊形BQCD為平行四邊形時，設(shè)D（1，a），則Q（2，3﹣a），

把Q（2，3﹣a）代入y=﹣x2+2x+3得3﹣a=﹣4+4+3，解得a=0，

∴Q（2，3），

綜上所述，滿足條件的Q點坐標(biāo)為（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）或（2，3）．

【解析】（1）設(shè)交點式y(tǒng)=a（x+1）（x﹣3），然后把C點坐標(biāo)代入求出a的值即可得到拋物線的解析式；（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=﹣x+3，作PM∥y軸交BC于M，如圖1，設(shè)P（x，﹣x2+2x+3），（0＜x＜3），則M（x，﹣x+3），利用三角形面積公式得到∴S△PCB= 3PM=﹣ x2+ ，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）如圖2，分類討論：當(dāng)四邊形BCDQ為平行四邊形，設(shè)D（1，a），利用點平移的坐標(biāo)規(guī)律得到Q（4，a﹣3），然后把Q（4，a﹣3）代入y=﹣x2+2x+3中求出a即可得到Q點坐標(biāo)；當(dāng)四邊形BCQD為平行四邊形或四邊形BQCD為平行四邊形時，利用同樣方法可求出對應(yīng)Q點坐標(biāo)．