Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為F．

（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若AE=4 ，∠CDF=22.5°，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接AD，OD．

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴D是BC的中點，

∵O是AB的中點，

∴OD∥AC，

∴∠ODF+∠DFA=180°，

∵DF⊥AC，

∴∠DFA=90°．

∴∠ODF=90°．

∴OD⊥DF

∴DF是⊙O的切線；

（2）

連接OE，

∵∠ADB=∠ADC=90°，∠DFC=∠DFA=90°，

∴∠DAC=∠CDF=22.5°，

∵AB=AC，D是BC中點，

∴∠BAC=2∠DAC=2×22.5°=45°，

∵OA=OE，

∴∠OEA=∠BAC=45°．

∴∠AOE=90°，

∵AE=4 ，

∴OA=OE=4．

S陰影=S扇形AOE﹣S△AOE=4π﹣8．

【解析】（1）連接AD、OD，則AD⊥BC，D為BC中點．OD為中位線，則OD∥AC，根據DF⊥AC可得OD⊥DF．得證；（2）連接OE，利用（1）的結論得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面積公式和三角形的面積公式得出結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰三角形的性質(等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）)，還要掌握扇形面積計算公式(在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）)的相關知識才是答題的關鍵．