【題目】【操作發(fā)現(xiàn)】
(1)如圖1,為等邊三角形,先將三角板中的角與重合,再將三角板繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角大于且小于).旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與交于點(diǎn).在三角板斜邊上取一點(diǎn),使,線段上取點(diǎn),使,連接,.
①求的度數(shù);
②與相等嗎?請(qǐng)說明理由;
【類比探究】
(2)如圖2,為等腰直角三角形,,先將三角板的角與重合,再將三角板繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角大于且小于).旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與交于點(diǎn).在三角板另一直角邊上取一點(diǎn),使,線段上取點(diǎn),使,連接,.請(qǐng)直接寫出探究結(jié)果:
①的度數(shù);
②線段之間的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1)①120°;②DE=EF;理由見解析;(2)①90°;②AE2+DB2=DE2.理由見解析.
【解析】
試題分析:(1)①由等邊三角形的性質(zhì)得出AC=BC,∠BAC=∠B=60°,求出∠ACF=∠BCD,證明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=60°,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°;
②證出∠DCE=∠FCE,由SAS證明△DCE≌△FCE,得出DE=EF即可;
(2)①由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AC=BC,∠BAC=∠B=45°,證出∠ACF=∠BCD,由SAS證明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=45°,AF=DB,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°;
②證出∠DCE=∠FCE,由SAS證明△DCE≌△FCE,得出DE=EF;在Rt△AEF中,由勾股定理得出AE2+AF2=EF2,即可得出結(jié)論.
試題解析:(1)①∵△ABC是等邊三角形,
∴AC=BC,∠BAC=∠B=60°,
∵∠DCF=60°,
∴∠ACF=∠BCD,
在△ACF和△BCD中,
,
∴△ACF≌△BCD(SAS),
∴∠CAF=∠B=60°,
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°;
②DE=EF;理由如下:
∵∠DCF=60°,∠DCE=30°,
∴∠FCE=60°﹣30°=30°,
∴∠DCE=∠FCE,
在△DCE和△FCE中,
,
∴△DCE≌△FCE(SAS),
∴DE=EF;
(2)①∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,
∴AC=BC,∠BAC=∠B=45°,
∵∠DCF=90°,
∴∠ACF=∠BCD,
在△ACF和△BCD中,
,
∴△ACF≌△BCD(SAS),
∴∠CAF=∠B=45°,AF=DB,
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°;
②AE2+DB2=DE2,理由如下:
∵∠DCF=90°,∠DCE=45°,
∴∠FCE=90°﹣45°=45°,
∴∠DCE=∠FCE,
在△DCE和△FCE中,
,
∴△DCE≌△FCE(SAS),
∴DE=EF,
在Rt△AEF中,AE2+AF2=EF2,
又∵AF=DB,
∴AE2+DB2=DE2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部或邊上的點(diǎn)(頂點(diǎn)除外),在△PAB,△PBC,△PCA中,若至少有一個(gè)三角形與△ABC相似,則稱點(diǎn)P是△ABC的自相似點(diǎn).
例如:如圖1,點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部,∠PBC=∠A,∠PCB=∠ABC,則△BCP∽△ABC,故點(diǎn)P為△ABC的自相似點(diǎn).
請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí),結(jié)合上述材料,解決下列問題:
在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)M是曲線C:上的任意一點(diǎn),點(diǎn)N是x軸正半軸上的任意一點(diǎn).
(1) 如圖2,點(diǎn)P是OM上一點(diǎn),∠ONP=∠M, 試說明點(diǎn)P是△MON的自相似點(diǎn); 當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)是,點(diǎn)N的坐標(biāo)是時(shí),求點(diǎn)P 的坐標(biāo);
(2) 如圖3,當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)是,點(diǎn)N的坐標(biāo)是時(shí),求△MON的自相似點(diǎn)的坐標(biāo);
(3) 是否存在點(diǎn)M和點(diǎn)N,使△MON無(wú)自相似點(diǎn),?若存在,請(qǐng)直接寫出這兩點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知x,y為有理數(shù),現(xiàn)規(guī)定一種新運(yùn)算“〇”滿足x〇y=y2﹣2x
(1)求5〇(﹣3);
(2)求(5〇x)﹣2(y〇x),其中|x﹣1|+(y+2)4=0
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都為135°,則它的邊數(shù)為( )
A.6
B.8
C.5
D.10
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在數(shù)軸上表示﹣2的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離是( )
A.5
B.﹣5
C.1
D.﹣1
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