Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D，E分別在AC，BC上（點(diǎn)D與點(diǎn)A，C不重合），且∠DEC=∠A，將△DCE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DC′E′．當(dāng)△DC′E′的斜邊、直角邊與AB分別相交于點(diǎn)P，Q（點(diǎn)P與點(diǎn)Q不重合）時(shí)，設(shè)CD=x，PQ=y．
（1）求證：∠ADP=∠DEC；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1中，

∵∠EDE′=∠C=90°，

∴∠ADP+∠CDE=90°，∠CDE+∠DEC=90°，

∴∠ADP=∠DEC．

（2）解：如圖1中，

當(dāng)C′E′與AB相交于Q時(shí)，即 ＜x≤ 時(shí)，過(guò)P作MN∥DC′，設(shè)∠B=α

∴MN⊥AC，四邊形DC′MN是矩形，

∴PM=PQcosα= y，PN= × （3﹣x），

∴ （3﹣x）+ y=x，

∴y= x﹣ ，

當(dāng)DC′交AB于Q時(shí)，即 ＜x＜3時(shí)，如圖2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，則四邊形PMDN是矩形，

∴PN=DM，

∵DM= （3﹣x），PN=PQsinα= y，

∴ （3﹣x）= y，

∴y=﹣ x+ ．

綜上所述，y=

【解析】（1）根據(jù)等角的余角相等即可證明；（2）分兩種情形①如圖1中，當(dāng)C′E′與AB相交于Q時(shí)，即 ＜x≤ 時(shí)，過(guò)P作MN∥DC′，設(shè)∠B=α．②當(dāng)DC′交AB于Q時(shí)，即 ＜x＜3時(shí)，如圖2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，則四邊形PMDN是矩形，分別求解即可；
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)關(guān)系式和解直角三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握用來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)才能正確解答此題．