Question

如圖，已知點(diǎn)A（0，6），B（4，－2），C（7，），過點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F與點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱．

（1）求證：∠CFE=∠AFE；
（2）在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使△AFP與△FBC相似，若有，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）見解析（2）是P（0，－2），P（0，－）

試題分析： （1）過點(diǎn)A作AM∥x軸，交FC于點(diǎn)M，交BE于點(diǎn)N.
∴AN=4.
設(shè)直線AC的解析式為,
則有，解得.
∴直線AC的解析式為當(dāng)x=4時(shí)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，4），
∵點(diǎn)F與E關(guān)于點(diǎn)D對(duì)稱，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，－8）
設(shè)直線FC的解析式為,
則有，解得.
∴直線FC的解析式為
∵AM與x軸平行，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為6.
當(dāng)y=6時(shí)，則有解得x=8.
∴AM="8," MN=AM—MN=4，
∴AN=MN，
∵FN⊥AM，
∴∠ANF=∠MNF，
又NF=NF，
∴△ANF≌△MNF，
∴∠CFE=∠AFE.
（2）∵C的坐標(biāo)為（7，），F(xiàn)坐標(biāo)為（4，－8）
∴
∵又A的坐標(biāo)為（0，6），則，
又BF=6，
∵EF∥AO，則有∠PAF=∠AFE，
又由（2）可知∠BFC=∠AFE，
∴∠PAF=∠BFC.
①△AFP∽△FCB，
則,即,解得PA="8."
∴OP=8－6=2，
∴P的坐標(biāo)為（0，－2）.
②若△AFP∽△FBC，
則,即,解得PA=.
∴OP=－6=，
∴P的坐標(biāo)為（0，－）.
所以符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)有兩個(gè)，分別是P（0，－2），P（0，－）.
點(diǎn)評(píng)：此類試題屬于難度很大的綜合性試題，考生在解答此類試題時(shí)要注意掌握好一些基本知識(shí)