Question

如圖1，已知直線y＝kx與拋物線y＝－x²＋交于點A(3，6)．

(1)求直線y＝kx的解析式和線段OA的長度；

(2)點P為拋物線第一象限內(nèi)的動點，過點P作直線PM，交x軸于點M(點M、O不重合)，交直線OA于點Q，再過點Q作直線PM的垂線，交y軸于點N．試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個定值，如果不是，說明理由；

(3)如圖2，若點B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點，點E在線段OA上(與點O、A不重合)，點D(m，0)是x軸正半軸上的動點，且滿足∠BAE＝∠BED＝∠AOD．繼續(xù)探究：m在什么范圍時，符合條件的E點的個數(shù)分別是1個、2個？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)把點A(3，6)代入y＝kx得6＝3k；∴k＝2；∴y＝2x．2分 　　OA＝；3分 　　(2)是一個定值，理由如下： 　　過點Q作QG⊥y軸于點G，QH⊥x軸于點H． 　�、佼�(dāng)QH與QM重合時，顯然QG與QN重合， 　　此時； 　�、诋�(dāng)QH與QM不重合時，∵QN⊥QM，QG⊥QH 　　不妨設(shè)點H，G分別在x、y軸的正半軸上 　　∴∠MQH＝∠GQN 　　又∵∠QHM＝∠QGN＝90°∴△QHM∽△QGN；5分 　　∴ 　　當(dāng)點P、Q在拋物線和直線上不同位置時，同理可得＝2；7分 　　(3)延長AB交x軸于點F，過點F作FC⊥OA于點C，過點A作AR⊥x軸于點R 　　∵∠AOD＝∠BAE；∴AF＝OF；∴OC＝AC＝OA＝ 　　∵∠ARO＝∠FCO＝90°；∠AOR＝∠FOC 　　∴△AOR∽△FOC；∴ 　　∴OF＝；∴點F(，0) 　　設(shè)點B(x，)， 　　過點B作BK⊥AR于點K，則△AKB∽△ARF 　　∴即；解得x1＝6，x2＝3(舍去) 　　∴點B(6，2) 　　∴BK＝6－3＝3；AK＝6－2＝4 　　∴AB＝5；8分 　　(求AB也可采用下面的方法) 　　設(shè)直線AF為y＝kx＋b(k≠0)把點A(3，6)，點F(，0)代入得 　　k＝，b＝10 　　∴ 　　；∴(舍去) 　　∴B(6，2)∴AB＝5；8分 　　(其它方法求出AB的長酌情給分) 　　在△ABE與△OED中 　　∵∠BAE＝∠BED 　　∴∠ABE＋∠AEB＝∠DEO＋∠AEB 　　∴∠ABE＝∠DEO 　　∵∠BAE＝∠EOD 　　∴△ABE∽△OED；9分 　　設(shè)OE＝x，則AE＝－x() 　　由△ABE∽△OED得 　　∴∴()；10分 　　∴頂點為(，) 　　如圖，當(dāng)時，OE＝x＝，此時E點有1個；當(dāng)時，任取一個m的值都對應(yīng)著兩個x值，此時E點有2個． 　　∴當(dāng)時，E點只有1個；11分 　　當(dāng)時，E點有2個；12分