Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，將拋物線C₁：y＝x²＋3先向右平移1個單位，再向下平移7個單位得到拋物線C₂。C₂的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側）。

（1）求拋物線C₂的解析式；

（2）若拋物線C₂的對稱軸與x軸交于點C，與拋物線C₂交于點D，與拋物線C₁交于點E，連結AD、DB、BE、EA，請證明四邊形ADBE是菱形，并計算它的面積；

（3）若點F為對稱軸DE上任意一點，在拋物線C₂上是否存在這樣的點G，使以O、B、F、G四點為頂點的四邊形是平行四邊形，如果存在，請求出點G的坐標，如果不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

(1) y=x²-2x-3；(2)證明過程見解析，16；（3）G₁（-2，5），G₂（4，5），G₃（2，-3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”，得出平移后解析式即可；

（2）首先求出A，B兩點的坐標，再利用頂點坐標得出AC=CB，CE=DE，進而得出四邊形ADBE是平行四邊形以及四邊形ADBE是菱形，再利用三角形面積公式求出即可；

（3）利用分OB為平行四邊形的邊和對角線兩種情況：①當OB為平行四邊形的一邊時，②當OB為平行四邊形的一對角線時分別得出即可．

試題解析：（1）∵將拋物線C₁：y=x²+3先向右平移1個單位，再向下平移7個單位得到拋物線C₂，

∴拋物線C₁的頂點（0，3）向右平移1個單位，再向下平移7個單位得到（1，-4）．

∴拋物線C₂的頂點坐標為（1，-4）．

∴拋物線C₂的解析式為y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3；

（2）證明：由x²-2x-3=0，

解得：x₁=-1，x₂=3，

∵點A在點B的左側，

∴A（-1，0），B（3，0），AB=4．

∵拋物線C₂的對稱軸為x=1，頂點坐標D為（1，-4），

∴CD=4．AC=CB=2．

將x=1代入y=x²+3得y=4，

∴E（1，4），CE=DE．

∴四邊形ADBE是平行四邊形．

∵ED⊥AB，

∴四邊形ADBE是菱形．

S_菱形ADBE=2××AB×CE=2××4×4=16．

（3）存在．分AB為平行四邊形的邊和對角線兩種情況：

①當OB為平行四邊形的一邊時，如圖1，

設F（1，y），

∵OB=3，∴G₁（-2，y）或G₂（4，y）．

∵點G在y=x²-2x-3上，

∴將x=-2代入，得y=5；將x=4代入，得y=5．

∴G₁（-2，5），G₂（4，5）．

②當OB為平行四邊形的一對角線時，如圖2，

設F（1，y），OB的中點M，過點G作GH⊥OB于點H，

∵OB=3，OC=1，∴OM=，CM=．

∵△CFM≌△HGM（AAS），∴HM=CM=．

∴OH=2．

∴G₃（2，-y）．

∵點G在y=x²-2x-3上，

∴將（2，-y）代入，得-y=-3，即y=3．

∴G₃（2，-3）．

綜上所述，在拋物線C₂上是否存在這樣的點G，使以O、B、F、G四點為頂點的四邊形是平行四邊形，

點G的坐標為G₁（-2，5），G₂（4，5），G₃（2，-3）．

考點: 二次函數(shù)綜合題．