Question

（本題滿分12分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC與E，交BC與D．

求證：(1)、D是BC的中點(diǎn)；(2)、△BEC∽△ADC；(3)、若，求⊙O的半徑。

Answer 1

(1)、(2)略；(3)、3.

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得出AD為高線，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一定理進(jìn)行說明；(2)、根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出∠CBE=∠CAD，然后根據(jù)∠BCE=∠ACD說明三角形相似；(3)、根據(jù)三角形相似進(jìn)行求解.

試題解析：(1)、證明：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=90° 即AD是底邊BC上的高．

又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形， ∴D是BC的中點(diǎn)

(2)、證明：∵∠CBE與∠CAD是同弧所對的圓周角，∴ ∠CBE=∠CAD．

又∵ ∠BCE=∠ACD， ∴△BEC∽△ADC；

(3)、【解析】
由△BEC∽△ADC得：， 即CD·BC=AC·CE． ∵D是BC的中點(diǎn)，∴CD=BC．

又 ∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC ·BC=AB·CE 即BC=2AB·CE=12

∴AB=6 ∴⊙O的半徑為3……12分

考點(diǎn)：圓的基本性質(zhì)、三角形相似的判定與應(yīng)用.