Question

（1）如圖，△ABC是等邊三角形，過它的三個頂點分別作對邊的平行線，得到一個新的三角形DEF，△DEF是等邊三角形嗎？你還能找到其他的等邊三角形嗎？點A，B，C分別是EF，ED，F(xiàn)D的中點嗎？請證明你的結(jié)論．
（2）如果△DEF是等邊三角形，點A，B，C分別是EF，ED，F(xiàn)D的中點，那么△ABC是等邊三角形嗎？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：等邊三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專題：

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)，可得AB與CF的關(guān)系，AB與DC的關(guān)系，可得AB是中位線，可得答案；
（2）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得答案．

解答：（1）△DEF是等邊三角形，△ABE是等邊三角形，△ACF是等邊三角形，△BCD是等邊三角形，點A，B，C分別是EF，ED，F(xiàn)D的中點，
證明：∵三角形ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC．
∵AB∥DF，BC∥EF，
∴四邊形ABCF是平行四邊形，
∴AB=CF，AF=BC；
∵AC∥ED，AB∥DF，
∴四邊形ABDC是平行四邊形，
∴AB=DC，DB=AC；
DC=CF，
AB是△EDF的中位線，
所以點A，B，C分別是DE，DF，EF的中點；
（2）△ABC是等邊三角形
證明：點A．B..C分別是DE、DF、EF的中點，
∴AB、AC、BC是△DEF的中位線，
∴BC=

1

2

DE，AB=

1

2

EF，AC=

1

2

DF
∵△DEF是等邊三角形
∴AB=AC=BC
∴△ABC是等邊三角形．

點評：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，利用了等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)．