Question

如圖1，直線AB交x軸于點(diǎn)A（4，0），交y軸于點(diǎn)B（0，-4），
（1）如圖，若C的坐標(biāo)為（-1，0），且AH⊥BC于點(diǎn)H，AH交OB于點(diǎn)P，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，如圖2，連接OH，求證：∠OHP=45°；
（3）如圖3，若點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)MD，過點(diǎn)D作DN⊥DM交x軸于N點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)的過程中，式子S_△BDM-S_△ADN的值是否發(fā)生改變？如發(fā)生改變，求出該式子的值的變化范圍；若不改變，求該式子的值．

Answer 1

考點(diǎn)：角的計(jì)算,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),三角形的面積

專題：

分析：（1）利用坐標(biāo)的特點(diǎn)，得出△OAP≌△OB，得出OP=OC=1，得出結(jié)論；
（2）過O分別做OM⊥CB于M點(diǎn)，ON⊥HA于N點(diǎn)，證出△COM≌△PON，得出OM=ON，HO平分∠CHA，求得結(jié)論；
（3）連接OD，則OD⊥AB，證得△ODM≌△ADN，利用三角形的面積進(jìn)一步解決問題．

解答：解（1）∵a=4，b=-4，則OA=OB=4．
∵AH⊥BC于H，
∴∠OAP+∠OPA=∠BPH+∠OBC=90°，
∴∠OAP=∠OBC
在△OAP與△OBC中，

∠COB=∠POA=90° OA=OB ∠OAP=∠OBC

，
∴△OAP≌△OBC（ASA）
∴OP=OC=1，則P（0，-1）．

（2）過O分別做OM⊥CB于M點(diǎn)，ON⊥HA于N點(diǎn)，
在四邊形OMHN中，∠MON=360°-3×90°=90°，
∴∠COM=∠PON=90°-∠MOP．
在△COM與△PON中，

∠COM=∠PON ∠OMC=∠ONP=90° OC=OP

，
∴△COM≌△PON（AAS）
∴OM=ON
HO平分∠CHA，
∴∠OHP=

1

2

∠CHA=45°；

（3）S_△BDM-S_△ADN的值不發(fā)生改變．S_△BDM-S_△ADN=4．
連接OD，則OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，∠OAD=45°
∴OD=AD，
∴∠MDO=∠NDA=90°-∠MDA
在△ODM與△ADN中，

∠MDO=∠NDA OD=OA ∠DOM=∠DAN=135°

，
∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S_△ODM=S_△ADN，
S_△BDM-S_△ADN=S_△BDM-S_△ODM=S_△BOD=

1

2

S_△AOB=

1

2

×

1

2

AO•BO=

1

2

×

1

2

×4×4=4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)；屬于一個(gè)綜合性題目．