Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過點A（-3，6），并與x軸交于點B（-1，0）和點C，頂點為P．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)D為線段OC上的一點，若∠DPC=∠BAC，求點D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若點M在拋物線y=x²+bx+c上，點N在y軸上，要使以M、N、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形，這樣的點M、N是否存在？若存在，求出所有滿足條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）將點A（-3，6），B（-1，0）代入中，
得，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為．
（2）令y=0，得，解得 x₁=-1，x₂=3，
則點C的坐標(biāo)為（3，0），

∵，
∴頂點P的坐標(biāo)為（1，-2）．
過點A作AE⊥x軸，過點P作PF⊥x軸，垂足分別為E，F(xiàn)，
易得∠ACB=∠PCD=45°，
，，
又∵∠DPC=∠BAC，
∴△ACB∽△PCD，
∴，
∵BC=3-（-1）=4，
∴，
∴，
∴點D的坐標(biāo)為．
（3）①當(dāng)BD為一邊時，由于，此時可得點M的橫坐標(biāo)為或-，代入函數(shù)解析式，
可得點M的坐標(biāo)為或．
②當(dāng)BD為對角線時，根據(jù)對角線互相平分，可得平行四邊形的中心的坐標(biāo)為（，0）
由∵點N的橫坐標(biāo)為0，
∴點M的橫坐標(biāo)為，代入函數(shù)解析式可得此時點M的坐標(biāo)為．
綜上可得點M的坐標(biāo)為：（，-）或（-，）或（，-）．
分析：（1）將點A及點B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可得出b和c的值，繼而可得出函數(shù)解析式；
（2）先求出點C的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)解析式求出點P的坐標(biāo)，然后可得出∠ACB=∠PCD=45°，結(jié)合∠DPC=∠BAC，可判斷△ACB∽△PCD，利用相似三角形的性質(zhì)求出CD，然后求出OD，即可得出點D的坐標(biāo)；
（3）①當(dāng)BD為平行四邊形的一邊時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得=MN，結(jié)合點N在y軸上，可得出點M的橫坐標(biāo)為或-，代入函數(shù)解析式即可得出點M的坐標(biāo)；
②當(dāng)BD為對角線時，根據(jù)點N的橫坐標(biāo)為0，可得出點M的橫坐標(biāo)為，代入可得出點M的坐標(biāo)．
點評：此題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，難度較大，難點在第二問，關(guān)鍵是判斷出△ACB∽△PCD，求出OD的長度，第三問解答的關(guān)鍵之處在于分類討論，得出點M的橫坐標(biāo)．