Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx和雙曲線在第一象限相交于點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)B在y軸上，且AB⊥y軸．有一動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)沿y軸以每秒1個(gè)單位的速度向y軸的正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0），過點(diǎn)P作PD⊥y軸，交直線OA于點(diǎn)C，交雙曲線于點(diǎn)D．

（1）求直線y=kx和雙曲線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)四邊形CDAB的面積為S，當(dāng)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（P不與B點(diǎn)重合），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在圖中第一象限的雙曲線上是否存在點(diǎn)Q，使以A、B、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出此時(shí)t的值和Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）把A（1，2）代入y=kx和，得
K=2，k?=2
∴直線y=kx的函數(shù)關(guān)系式是y=2x
雙曲線的函數(shù)關(guān)系式是，
（2）∵AB=1，OB=2，OP=t
∴PC=，PD=，BP=2-t
∴當(dāng)CD在AB下方時(shí)，CD=PD-PC=-．
∴S=
=（0＜t＜2），
（注：自變量t的取值范圍沒有寫出的不扣分，函數(shù)化簡結(jié)果可以用不同
的形式表示，只要結(jié)果正確的均不扣分，如：等）
（3）存在3種情形，具體如下：
①當(dāng)AB=∥CD，且CD在AB下方時(shí)（圖2）
CD=PD-PC=-=1，
解得 t₁=-1，t₂=--1（舍去）
∴PD=，OP=t=-1
∴當(dāng)t=-1時(shí)，存在Q（，-1）使以
A、B、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
②當(dāng)AB=∥CD，且CD在AB上方時(shí)（圖2）
CD=PC-PD=-=1，解得 t₁=+1，t₂=-+1（舍去）
∴PD=，OP=t=+1
∴當(dāng)t=+1時(shí)，存在Q（，+1）使以
A、B、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
③當(dāng)BQ=∥AC，且CD在AB下方時(shí)（見圖3）
此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)仍為（，+1）
過C作CG⊥AB交AB于G，
過Q作QH⊥y軸交y軸于H
顯然，△ACG≌△QBH
∴CG=BH=BP
∴OP=2OB-OH=4-（+1）=3-
∴當(dāng)t=3-時(shí)，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
分析：（1）把A的坐標(biāo)代入正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，；利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）OP=t，把y=t代入正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，求得C，D的橫坐標(biāo)，則CD的長即可利用t表示出來，然后利用梯形的面積公式即可寫出函數(shù)的解析式；
（3）分AB=∥CD，且CD在AB下方時(shí)；當(dāng)AB=∥CD，且CD在AB上方時(shí)以及BQ=∥AC，且CD在AB下方三種情況進(jìn)行討論．依據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可求解．
點(diǎn)評：本題是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的判定方法的綜合應(yīng)用，正確理解分情況討論是關(guān)鍵．