Question

【題目】已知二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)A（-2，0），B（4，0），C（0，4）

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)時(shí)，在線段PB上是否存在點(diǎn)M，使得∠BMC=90°？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）點(diǎn)K在拋物線上，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，直線KD與直線BC的夾角為銳角，且tan=，求點(diǎn)K的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）線段上存在，使得，理由詳見(jiàn)解析；（3）拋物線上符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為： 或或或．

【解析】

（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)C坐標(biāo)代入可求解；

（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求P（﹣1，2），點(diǎn)Q（2，2），由勾股定理可求BC的長(zhǎng)，由待定系數(shù)法可求PB解析式，設(shè)點(diǎn)M，由兩點(diǎn)距離公式可得，可求或，即可求解；

（3）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)直線DK與BC交于點(diǎn)N，先求出，，由銳角三角函數(shù)可求，分DK與射線EC交于點(diǎn)和DK與射線EB交于兩種情況討論，求出直線DK解析式，聯(lián)立方程組可求點(diǎn)K坐標(biāo)．

解：（1）二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)

設(shè)二次函數(shù)解析式為

又二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，

∴，即

故二次函數(shù)解析式為

（2）線段上存在，使得，理由如下：

設(shè)中點(diǎn)為，由題意，易知的坐標(biāo)為，

若，則

∵，∴≈的中點(diǎn)為

設(shè)所在的直線為，則，得

所在的直線為

在線段上，設(shè)的坐標(biāo)為，其中

如圖1，分別過(guò)，作軸與軸的垂線，，設(shè)，相交于點(diǎn)，

∴

∵

∴

整理得，解得或

當(dāng)時(shí)，，重合，不合題意（舍去）

∴，則的坐標(biāo)為

故線段上存在，使得

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)直線與交于點(diǎn)

∵

∴

∵

∴直線

在中

①若與射線交于點(diǎn)

∴

∴

∴

∴直線

∴

解得或

②若與射線交于點(diǎn)

∴

∴

∴

∴直線

，解得或

綜上所述，拋物線上符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為：

或或或．