Question

在△OAB中，O為坐標原點，橫、縱軸的單位長度相同，A、B的坐標分別為（8，6），（16，0），點P沿OA邊從點O開始向終點A運動，速度每秒1個單位，點Q沿BO邊從B點開始向終點O運動，速度每秒2個單位，如果P、Q同時出發(fā)，用t（秒）表示移動時間，當(dāng)這兩點中有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動．求：
（1）幾秒時PQ∥AB；
（2）設(shè)△OPQ的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）t為何值時，y有最大值？

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由兩點間的距離公式求得AO=10，然后根據(jù)平行線PQ∥AB分線段成比例知

OP

OA

，據(jù)此列出關(guān)于t的方程，并解方程；
（2）過P作PC⊥OB，垂足為C，過A作AD⊥OB，垂足為D．構(gòu)造平行線PC∥AQ，根據(jù)平行線分線段成比例及三角形的面積公式求得關(guān)于y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用（2）中二次函數(shù)解析式來求函數(shù)的最值．

解答：解：（1）由已知得OA=

82+62

=10，
當(dāng)PQ∥AB時，

OP

OA

=

OQ

OB

，
則：

t

10

=

16-2t

16

，
解得 t=

40

9

；

（2）過P作PC⊥OB，垂足為C，過A作AD⊥OB，垂足為D．
∵

PC

AD

=

OP

OA

，

PC

6

=

t

10

，
∴PC=

3

5

t，y=

1

2

OQ•PC=

1

2

（16-2t）•

3

5

t=-

3

5

t²+

24

5

t；
∴y=-

3

5

t²+

24

5

t（0＜t≤8）；

（3）由（2）知，y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=-

3

5

t²+

24

5

t（0＜t≤8）．
則y=-

3

5

（t-4）²+

192

5

（0＜t≤8）．
故當(dāng)t=4時，y_最大=

192

5

．

點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的最值、平行線分線段成比例及勾股定理的應(yīng)用．解答此題的關(guān)鍵是通過作輔助線PC⊥OB，AD⊥OB構(gòu)造平行線PC∥AQ，然后利用平行線分線段成比例來求出相關(guān)線段的長度．