Question

如圖，四邊形ABCD中，一組對邊AB=DC=4，另一組對邊AD≠BC，對角線BD與邊DC互相垂直，M、N、H分別是AD、BC、BD的中點，且∠ABD=30°．
求：（1）MH的長；
（2）MN的長．

Answer 1

解：（1）∵M、H分別是AD，BD的中點，
∴MH∥AB，MH=AB．
∵AB=4，
∴MH=2；

（2）連接HN，作HQ⊥MN，交MN于點Q．
同（1）可知，HN∥DC，HN=2．
∴△MHN是等腰三角形．
∵∠ABD=30°，∠BDC=90°，
∴∠MHN=120°．
∵HQ⊥MN，
∴HQ平分∠MHN，NQ=QM．
∵MH=2，∠MHQ=60°，
∴MQ=HM•sin60°=，
∴MN=2MQ=2．
分析：（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)，中位線平行于底邊且等于底邊的一半，可求出解．
（2）根據(jù)條件判斷出三角形MHN是等腰三角形，然后用三角函數(shù)可求出解．
點評：本題考查三角形的中位線定理，三角形的中位線平行于底邊且等于底邊的一半，以及解直角三角形的定理．