Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c(a＞0)的圖象經(jīng)過點B(12,0)和C(0，-6），對稱軸為x=2.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點D在線段AB上且AD=AC，若動點P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動，同時另一動點Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運動，問是否存在某一時刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時的時間t（秒）和點Q的運動速度；若不存在，請說明理由；

(3)在（2）的結(jié)論下，直線x=1上是否存在點M，使△MPQ為等腰三角形？若存在，請求出所有點M的坐標；若不存在請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】

試題分析：（1）把點B、C的坐標代入拋物線解析式，根據(jù)對稱軸解析式列出關(guān)于a、b、c的方程組，求解即可；（2）根據(jù)拋物線解析式求出點A的坐標，再利用勾股定理列式求出AC的長，然后求出OD，可得點D在拋物線對稱軸上，根據(jù)線段垂直平分線上的性質(zhì)可得∠PDC=∠QDC，PD=DQ，再根據(jù)等邊對等角可得∠PDC=∠ACD，從而得到∠QDC=∠ACD，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得PQ∥AC，再根據(jù)點D在對稱軸上判斷出DQ是△ABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出DQ=AC，再求出AP，然后根據(jù)時間=路程÷速度求出點P運動的時間t，根據(jù)勾股定理求出BC，然后求出CQ，根據(jù)速度=路程÷時間，計算即可求出點Q的速度．（3）假設(shè)存在這樣的點M，使得△MPQ為等腰三角形，那么就需要要分類討論：①當MP=MQ，即M為頂點；②；當PQ為等腰△MPQ的腰時，且P為頂點；③當PQ為等腰△MPQ的腰時，且Q為頂點.進行分類求解即可.

試題解析：解：方法一：∵拋物線過C(0,-6)

∴c=－6, 即y=ax²+bx－6

由 ，解得：a= ,b=－

∴該拋物線的解析式為y=x²－x－6；

方法二：∵A、B關(guān)于x=2對稱

∴A（－8，0），設(shè)y=a(x＋8)(x－12) 

 C在拋物線上，∴－6=a×8×(－12)  即a=

∴該拋物線的解析式為：y=x²－x－6.

（2）存在，設(shè)直線CD垂直平分PQ,

在Rt△AOC中，AC==10=AD

∴點D在對稱軸上，連結(jié)DQ  顯然∠PDC=∠QDC，

由已知∠PDC=∠ACD，

∴∠QDC=∠ACD，∴DQ∥AC，

DB=AB－AD=20-10=10

∴DQ為△ABC的中位線，∴DQ=AC=5.

AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5

∴t=5÷1=5(秒) 

∴存在t=5(秒)時，線段PQ被直線CD垂直平分,

在Rt△BOC中, BC==6  ∴CQ=3 

∴點Q的運動速度為每秒單位長度.

（3）存在  過點Q作QH⊥x軸于H，則QH=3，PH=9

在Rt△PQH中，PQ==3.

①當MP=MQ，即M為頂點，

設(shè)直線CD的直線方程為：y=kx+b(k≠0),則：

  ,解得：.

∴y=3x-6

當x=1時，y=－3 , ∴M₁(1, －3).

②當PQ為等腰△MPQ的腰時，且P為頂點.

設(shè)直線x=1上存在點M(1,y) ,由勾股定理得：

4²+y²=90   即y=±

∴M₂（1，）   M₃（1，－）.

③當PQ為等腰△MPQ的腰時，且Q為頂點.

過點Q作QE⊥y軸于E，交直線x=1于F，則F(1, －3)

設(shè)直線x=1存在點M(1,y), 由勾股定理得：

(y＋3)²+5²=90  即y=－3±

∴M₄(1, －3＋)   M₅((1, －3－) .

綜上所述：存在這樣的五點：

M₁(1, －3),  M₂（1，）,  M₃（1，－）,  M₄(1, －3＋),

M₅((1, －3－)

考點：二次函數(shù)綜合題.