Question

【題目】如圖已知：AB是圓O的直徑，AB=10，點(diǎn)C為圓O上異于點(diǎn)A、B的一點(diǎn)，點(diǎn)M為弦BC的中點(diǎn)．

（1）如果AM交OC于點(diǎn)E，求OE：CE的值；

（2）如果AM⊥OC于點(diǎn)E，求∠ABC的正弦值；

（3）如果AB：BC=5：4，D為BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作DF⊥OC，交OC于點(diǎn)H，與射線BO交于圓內(nèi)點(diǎn)F，請(qǐng)完成下列探究．

探究一：設(shè)BD=x，FO=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及其定義域．

探究二：如果點(diǎn)D在以O為圓心，OF為半徑的圓上，寫(xiě)出此時(shí)BD的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）OE:CE=1：2；（2）；（3）探究一： （其中），探究二：.

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)O作ON║BC交AM于點(diǎn)N，根據(jù)AB是圓O的直徑，點(diǎn)M為弦BC的中點(diǎn)即可；

（2）證明△OME∽△MCE，求出即可；

（3）過(guò)點(diǎn)D作DL⊥BO于點(diǎn)L，設(shè)BD=，則CD=，BL=DL=，CH=，OH= ，根據(jù)，求出y的解析式，再根據(jù)OC垂直平分DF，求出BD即可.

解：（1）過(guò)點(diǎn)O作ON║BC交AM于點(diǎn)N，

∵AB是圓O的直徑，ON∥BM，∴

∵點(diǎn)M為弦BC的中點(diǎn)，∴

∴OE:CE=ON:BM=1：2

（2）∵點(diǎn)M為弦BC的中點(diǎn)，

∴OM⊥BC.

∴∠C＋∠MOC=90°，

∵AM⊥OC于點(diǎn)E，

∴∠MOC＋∠OME=90°，

∴∠OME=∠C.

∵∠OME=∠C，∠MOE=∠MOE，

∴△OME∽△MCE

∴.

設(shè)OE=，則CE=2， ME=

在直角△MCE中，，

∴.

（3）過(guò)點(diǎn)D作DL⊥BO于點(diǎn)L，

∵AB=10，AB：BC=5：4，

∴BC=8，

設(shè)BD=，則CD=，BL=DL=，CH=，OH= ，

∵OH∥LD，

∴

∴

∴ （其中）

∵以O為圓心，OF為半徑的圓經(jīng)過(guò)D，

∴OC垂直平分DF，FO=OL，

，

此時(shí)．