【題目】在△ABC中,CA=CB,0°<∠C≤90°.過點A作射線AP∥BC,點M、N分別在邊BC、AC上(點M、N不與所在線段端點重合),且BM=AN,連結(jié)BN并延長交AP于點D,連結(jié)MA并延長交AD的垂直平分線于點E,連結(jié)ED.
(猜想)如圖①,當(dāng)∠C=45°時,可證△BCN≌△ACM,從而得出∠CBN=∠CAM,進(jìn)而得出∠BDE的大小為 度.
(探究)如圖②,若∠C=α.
(1)求證:△BCN≌△ACM.
(2)∠BDE的大小為 度(用含a的代數(shù)式表示).
(應(yīng)用)如圖③,當(dāng)∠C=90°時,連結(jié)BE.若BC=3,∠BAM=15°,則△BDE的面積為 .
【答案】【猜想】135°;【探究】(1)詳見解析;(2)α或(180﹣α);【應(yīng)用】9﹣9.
【解析】
猜想:如圖(1)中,延長ED交BC于點F,交AC于點O.想辦法證明∠BNC=∠BFE,再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題;
探究:(1)同理根據(jù)SAS證明:△BCN≌△ACM;
(2)分兩種情形討論求解即可,①如圖2中,當(dāng)點E在AM的延長線上時,②如圖4中,當(dāng)點E在MA的延長線上時,分別計算即可;
應(yīng)用:如圖3,分別計算BD和DE的長,證明△EAD是等邊三角形,根據(jù)三角形的面積公式可得結(jié)論.
猜想:證明:如圖1中,延長ED交BC于點F,交AC于點O,
∵CB=CA,
∴∠ABM=∠BAN,
∵CA=CB,BM=AN,
∴CM=CN,
∵∠C=∠C,
∴△BCN≌△ACM(SAS),
∴∠CBN=∠CAM,
∵E是AD的垂直平分線上的點,
∴EA=ED,
∴∠EAD=∠EDA,
∵AD∥BC,
∴∠EAD=∠EMF,∠EDA=∠EFM,
∴∠BNC=∠BFE,
∴∠NOD+∠BDF=∠C+∠FOC,
∵∠C=45°,∠FOC=∠NOD,
∴∠NDO=45°,
∴∠BDE=135°,
故答案為:135°;
探究:
(1)證明:∵CA=CB,BM=AN,
∴CA﹣AN=CB﹣BM,
∴MC=NC,
又∵∠C=∠C,
∴△BCN≌△ACM(SAS);
(2)分兩種情況:
①如圖2中,當(dāng)點E在AM的延長線上時,
易證:∠CBN=∠ADB=∠CAN,∠ACB=∠CAD,
∵EA=ED,
∴∠EAD=∠EDA,
∴∠CAM+∠CAD=∠BDE+∠ADB,
∴∠BDE=∠CAD=∠ACB=α.
如圖4中,當(dāng)點E在MA的延長線上時,延長ED交BC的延長線于點F,
同理得△BCN≌△ACM(SAS),
∴∠CBN=∠CAM,
同理得:∠BNC=∠AMC=∠BFE,
∴∠BNC+∠NBC=∠NBC+∠BFE,
∴∠ACB=∠BDF=α,
∴∠BDE=180°﹣α.
故答案為:α或(180﹣α);
應(yīng)用:
如圖3,同(2)得:∠BDE=180°﹣∠ACB=90°,
∵∠ACB=90°,AC=BC=3,
∴∠BAC=∠ABC=45°,
∵∠BAM=15°,
∴∠CAM=∠CBN=30°,
Rt△BNC中,CN=,BN=,
∴AN=AC﹣CN=3﹣,
∵AD∥BC,
∴∠DAN=∠ACB=90°,∠ADN=∠NBC=30°,
∴DN=2AN=6﹣2,AD=AN=3﹣3,
∴BD=BN+DN=2+6﹣2=6,
∵EA=ED,∠EAD=60°,
∴△EAD是等邊三角形,
∴ED=AD=3﹣3,
∴S△BDE=
故答案為:9﹣9.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀理解:對于任意正實數(shù)a、b,∵≥0, ∴≥0,
∴≥,只有當(dāng)a=b時,等號成立.
結(jié)論:在≥(a、b均為正實數(shù))中,若ab為定值p,則a+b≥,只有當(dāng)a=b時,a+b有最小值.
根據(jù)上述內(nèi)容,回答下列問題:
若m>0,只有當(dāng)m= 時,有最小值 .
思考驗證:如圖1,AB為半圓O的直徑,C為半圓上任意一點(與點A、B不重合),過點C作CD⊥AB,垂足為D,AD=a,DB=b.
試根據(jù)圖形驗證≥,并指出等號成立時的條件.
探索應(yīng)用:如圖2,已知A(-3,0),B(0,-4),P為雙曲線(x>0)上的任意一點,過點P作PC⊥x軸于點C,PD⊥y軸于點D.求四邊形ABCD面積的最小值,并說明此時四邊形ABCD的形狀.
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【題目】如圖,中,,點、同時從點出發(fā),以的速度分別沿、勻速運動,當(dāng)點到達(dá)點時,兩點同時停止運動,設(shè)運動時間為.過點作的垂線交于點,點與點關(guān)于直線對稱.
(1)當(dāng)_____時,點在的平分線上;
(2)當(dāng)_____時,點在邊上;
(3)設(shè)與重合部分的面積為,求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形紙片,是的中點,是上一動點,沿折疊,點落在點處;延長交于點,連接.
(1)求證:≌;
(2)當(dāng)時,將沿折疊,點落在線段上點處.
①求證:∽;
②如果,,求的長.
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【題目】如圖,直線y=x與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象相交于點D,點A為直線y=x上一點,過點A作AC⊥x軸于點C,交反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象于點B,連接BD.
(1)若點B的坐標(biāo)為(8,2),則k= ,點D的坐標(biāo)為 ;
(2)若AB=2BC,且△OAC的面積為18,求k的值及△ABD的面積.
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【題目】黃石市在創(chuàng)建國家級文明衛(wèi)生城市中,綠化檔次不斷提升.某校計劃購進(jìn)A,B兩種樹木共100棵進(jìn)行校園綠化升級,經(jīng)市場調(diào)查:購買A種樹木2棵,B種樹木5棵,共需600元;購買A種樹木3棵,B種樹木1棵,共需380元.
(1)求A種,B種樹木每棵各多少元?
(2)因布局需要,購買A種樹木的數(shù)量不少于B種樹木數(shù)量的3倍.學(xué)校與中標(biāo)公司簽訂的合同中規(guī)定:在市場價格不變的情況下(不考慮其他因素),實際付款總金額按市場價九折優(yōu)惠,請設(shè)計一種購買樹木的方案,使實際所花費用最省,并求出最省的費用.
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【題目】已知:在中,以邊為直徑的交于點,在劣弧上取一點使,延長依次交于點,交于.
(1)求證:;
(2)若,的直徑等于10,,求的長.
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【題目】為了解本校九年級學(xué)生期末數(shù)學(xué)考試情況,小亮在九年級隨機抽取了一部分學(xué)生的期末數(shù)學(xué)成績?yōu)闃颖荆譃?/span>分)、分)、分)、分)四個等級進(jìn)行統(tǒng)計,并將統(tǒng)計結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計圖表,請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答以下問題:
其中組的期末數(shù)學(xué)成績?nèi)缦?/span>
(1)請補全條形統(tǒng)計圖;
(2)這部分學(xué)生的期末數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)是 ,組的期末數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)是 ;
(3)這個學(xué)校九年級共有學(xué)生人,若分?jǐn)?shù)為分(含分)以上為優(yōu)秀,請估計這次九年級學(xué)生期末數(shù)學(xué)考試成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)大約有多少?
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【題目】“今有善行者行一百步,不善行者行六十步”(出自《九章算術(shù)》)意思是:同樣時間段內(nèi),走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步,假定兩者步長相等,據(jù)此回答以下問題:
(1)今不善行者先行一百步,善行者追之,不善行者再行六百步,問孰至于前,兩者幾何步隔之?即:走路慢的人先走100步,走路快的人開始追趕,當(dāng)走路慢的人再走600步時,請問誰在前面,兩人相隔多少步?
(2)今不善行者先行兩百步,善行者追之,問幾何步及之?即:走路慢的人先走200步,請問走路快的人走多少步才能追上走路慢的人?
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