Question

在梯形ABCD中，AD∥BC, ∠ABC =90°，且AD=1，AB=2，tan∠DCB=2 ，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O．在等腰直角三角形紙片EBF中，∠EBF=90°，EB=FB．把梯形ABCD固定不動(dòng)，將三角形紙片EBF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)三角形紙片EBF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到使一邊BF與梯形ABCD的邊BC在同一條直線上時(shí)，線段AF與CE的位置關(guān)系是　　　 ，數(shù)量關(guān)系是 　　　　 ；

（2） 將圖1中的三角形紙片EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針繼續(xù)旋轉(zhuǎn), 旋轉(zhuǎn)角為（）,請(qǐng)你在圖2 中畫(huà)出圖形，并判斷（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化，寫(xiě)出你的猜想并加以證明

（3）將圖1中的三角形紙片EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到一邊BF恰好落在線段BO上時(shí),三角形紙片EBF的另一邊EF與BC交于點(diǎn)M，請(qǐng)你在圖3中畫(huà)出圖形．

①判斷（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化，直接寫(xiě)出你的猜想，不必證明；

②若，求BM的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）垂直，相等    

（2）猜想：（1）中的兩個(gè)結(jié)論沒(méi)有發(fā)生變化．

            證明：如圖2，過(guò)D作于G．

            ∵，

　　　　　　∴DG∥AB.

　　　　　　∵AD∥BC，

∴四邊形ABGD為矩形.

            ∴AB=DG=2,AD=BG=1.

∵tan∠DCB==2,

∴.

∴ CB = AB =2.

∵，

∴.

∴.

在△ABF和△CBE中，

∴△ABF≌△CBE.

∴.

∵，，

∴.

∴.

     

（3）①猜想：（1）中的兩個(gè)結(jié)論沒(méi)有發(fā)生變化．

②如圖3，AD∥BC，

∴△AOD∽△COB．

∴．

AD＝1，BC＝2，

∴．

在Rt△DAB中，．

∴．

∵,

            ∴．

∠1＋∠FBM=90°，∠2＋∠FBM=90°,

．

又

∴△BME∽△BOA.

∴ 

∴

∴