Question

【題目】如圖1，在中，，，厘米，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以每秒2厘米的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以每秒1厘米的速度移動(dòng)，其中任意一點(diǎn)到達(dá)目的地后，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．求：

（1）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過幾秒的面積等于1平方厘米？

（2）是否存在以點(diǎn)為圓心、為半徑的圓與直線相切，若存在，求出經(jīng)過幾秒相切？若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖2，點(diǎn)是內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，求線段的最小值．

Answer 1

【答案】（1）經(jīng)過1秒的面積等于平方厘米；（2）經(jīng)過秒相切；（3）線段的最小值

【解析】

（1）首先設(shè)經(jīng)過x秒的面積等于平方厘米，然后利用面積列出方程，求解即可；

（2）首先假設(shè)存在以點(diǎn)為圓心、為半徑的圓與直線相切，然后根據(jù)相切的性質(zhì)和勾股定理，列出方程，求解即可；

（3）首先由得出∠AMB=90°，將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M在以AC為直徑的圓在△ABC內(nèi)的弧上，則當(dāng)B，M，O三點(diǎn)共線時(shí)最小，即可得解.

（1）設(shè)經(jīng)過x秒的面積等于平方厘米，則BP=2x，PC=4-x，CQ=x

由題意，得

∴

化簡(jiǎn)得：x2-2x+1=0

∴x1=x2=1．

答：經(jīng)過1秒的面積等于平方厘米；

（2）假設(shè)存在以點(diǎn)為圓心、為半徑的圓與直線相切，如圖設(shè)其切點(diǎn)為H，

∵AB與圓P相切，

∴PH⊥AB

∵∠ABC=90°-∠BAC=60°

∴∠BPH=30°

∴BH==x，PH=

在Rt△PCQ中，PQ2=PH2=CQ2+PC2

∴

解得：

由于點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最大為2秒，故x2舍去

所以經(jīng)過秒相切；

（3）∵∠MAC=∠MCB

∵∠ACM+∠BCM=∠BCM+∠CAM=90°，

∴∠AMB=90°

∴點(diǎn)M在以AC為直徑的圓在△ABC內(nèi)的弧上，如圖所示：

∴當(dāng)B，M，O三點(diǎn)共線時(shí)最小

BO=，OM=OA=OB

∴BM=

答：線段的最小值.