Question

【題目】如圖，在等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)D，AD=5，BD=6，CD=4，將△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E，求∠CDE的余弦值．

Answer 1

【答案】∠CDE的余弦值為．

【解析】

試題分析：先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC，∠BAC=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，于是可判斷△ADE為等邊三角形，得到DE=AD=5；過(guò)E點(diǎn)作EH⊥CD于H，如圖，設(shè)DH=x，則CH=4﹣x，利用勾股定理得到52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x=，然后根據(jù)余弦的定義求解．

解：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△ACE，

∴AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，

∴△ADE為等邊三角形，

∴DE=AD=5，

過(guò)E點(diǎn)作EH⊥CD于H，如圖，設(shè)DH=x，則CH=4﹣x，

在Rt△DHE中，EH2=52﹣x2，

在Rt△CHE中，EH2=62﹣（4﹣x）2，

∴52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x=，

∴DH=，

在Rt△EDH中，cos∠HDE===，

即∠CDE的余弦值為．