Question

已知：如圖，AD為△ABC的內(nèi)角平分線，且AD=AB，CM⊥AD于M. 求證：AM=(AB+AC) 。

Answer 1

證明：取AD、CD的中點(diǎn)為E，F(xiàn)點(diǎn)，連接EF，F(xiàn)M，

∴EF是三角形ACD的中位線，
∴EF∥AC，EF=AC，
∠DEF=∠CAD，
∵CM⊥AD，CF=DF
∴DF=MF，∠FDM=∠FMD=∠ADB，
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB=∠AMF，
∴A、B、M、F四點(diǎn)共圓，
∴∠BAM=∠BFM，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAM=∠CAM=∠FEM，
∠FEM+∠EFD=∠EFD+∠BAM=∠EFD+∠BFM=∠EFM=∠FDM=∠FMD，
∴∠EFM=∠EMF，
∴EF=EM=AC，
∵AE=AD=AB，
∴AM=AE+EM=（AB+AC）．
即AM=（AB+AC）．

解析