Question

如圖，一菱形ABCD的邊長為2，且∠ABC=120°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BD上一點(diǎn)，且△PCE的周長最小．
（1）求∠ADE的度數(shù)；
（2）在BD上畫出點(diǎn)P的位置，并寫出作法；
（3）求△PCE周長的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),軸對(duì)稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）由菱形ABCD中，∠ABC=120°，易得△BCD是等邊三角形，繼而求得∠ADE的度數(shù)；
（2）連接AE，交BD于點(diǎn)P；
（3）首先由勾股定理求得AE的長，即可得△PCE周長的最小值=AE+EC．

解答：解：（1）∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，
∴BC=CD=AD=2，∠C=180°-∠ABC=60°，∠ADC=∠ABC=120°，
∴∠ADB=∠BDC=

1

2

∠ADC=60°，△BCD是等邊三角形，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴∠BDE=

1

2

∠BDC=30°，
∴∠ADE=∠ADB+∠BDE=90°；

（2）如圖，連接AE，交BD于點(diǎn)P；

（3）∵DE=CD•sin60°=

3

，CE=

1

2

BC=1，
∴在Rt△ADE中，AE=

AD2+DE2

=

7

，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴PA=PC，
∴△PCE周長為：PC+PE+CE=PA+PE+CE=AE+CE=

7

+1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理以及最短路徑問題．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．