Question

如圖，已知拋物線與x交于A（-1，0）、E（3，0）兩點，與y軸交于點B（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線頂點為D，△AOB與△DBE是否相似？如果相似，請給以證明；如果不相似，請說明理由．
（3）若點P為第一象限拋物線上一動點，連接BP、PE，求四邊形ABPE面積的最大值，并求此時P點的坐標．

Answer 1

（1）∵拋物線與y軸交于點（0，3），
∴設拋物線解析式為y=ax²+bx+3，
根據(jù)題意得：

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得：

a=-1 b=2

，
∴拋物線的解析式是y=-x²+2x+3．
解法二、∵設解析式是y=a（x-3）（x+1），
把B（0，3）代入得：3=a（0-3）（0+1），
a=-1，
即y=-1（x-3）（x+1）=-x²+2x+3，
∴拋物線的解析式是y=-x²+2x+3．

（2）相似，
證明：過D作DF⊥x軸于F，過B作BG⊥DF于G，
如圖，BD=

BG2+DG2

=

12+12

=

2

，BE=

BO2+OE2

=

32+32

=3

2

，
DE=

DF2+EF2

=

22+42

=2

5

，
∴BD²+BE²=20，DE²=20，
∴DB²+BE²=DE²，
∴△BDE是直角三角形，
∴∠AOB=∠DBE=90°，且

AO

BD

=

BO

BE

=

2

2

，
∴△AOB∽△DBE．

（3）設點P的坐標為（x，y），過P作PQ⊥X軸于Q，
則SABPE=S△ABO+SBOQP+S△PQE=

1

2

×1×3+

1

2

×(3+y)×x+

1

2

×y×(3-x)=-

3

2

x2+

9

2

x+6=-

3

2

(x-

3

2

)2+9

3

8

，
當x=

3

2

時，四邊形ABPE面積最大，
此時，點P的坐標為(

3

2

，

15

4

)．