Question

如圖(13.1)，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C(0，2)，連接AC，若tan∠OAC＝2．

(1)求拋物線對應的二次函數的解析式；
(2)在拋物線的對稱軸l上是否存在點P，使∠APC＝90°，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)如圖(13.2)所示，連接BC，M是線段BC上(不與B、C重合)的一個動點，過點M作直線l′∥l，交拋物線于點N，連接CN、BN，設點M的橫坐標為t．當t為何值時，△BCN的面積最大？最大面積為多少？

Answer 1

（1）y=x²－3x＋2
（2）點P的坐標為（，）或（，）
（3）1解析:
解：（1）∵拋物線y=x²＋bx＋c過點C(0,2). ∴x=2
又∵tan∠OAC=="2," ∴OA=1,即A(1,0).
又∵點A在拋物線y=x²＋bx＋2上. ∴0=1²＋b×1＋2,b=－3
∴拋物線對應的二次函數的解析式為y=x²－3x＋2
（2）存在

過點C作對稱軸l的垂線,垂足為D,如圖所示,
∴x=－.∴AE=OE-OA=-1=,∵∠APC=90°,
∴tan∠PAE= tan∠CPD∴,即，解得PE=或PE=，
∴點P的坐標為（，）或（，）。（備注：可以用勾股定理或相似解答）
（3）如圖，易得直線BC的解析式為：y=-x＋2，
∵點M是直線l′和線段BC的交點，∴M點的坐標為（t，-t+2）(0＜t＜2)
∴MN=-t+2-(t²－3t＋2)="-" t²＋2t
∴S△BCM= S△MNC+S△MNB=MN?t+MN?(2-t)
=MN?(t+2-t)="MN=-" t²＋2t(0＜t＜2),
∴S△BCN="-" t²＋2t=-(t-1)²+1
∴當t=1時，S△BCN的最大值為1。
備注：如果沒有考慮的取值范圍，可以不扣分）