Question

我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)：反比例函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形．你可以利用這一結(jié)論解決問(wèn)題．

如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)的圖象可以看作是：將x軸所在的直線繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度角后的圖形．若它與反比例函數(shù)y＝的圖象分別交于第一、三象限的點(diǎn)B、D，已知點(diǎn)A(－m，0)、C(m，0)．

(1)直接判斷并填寫(xiě)：不論α取何值，四邊形ABCD的形狀一定是________；

(2)①當(dāng)點(diǎn)B為(p，1)時(shí)，四邊形ABCD是矩形，試求p、α、和m有值；

②觀察猜想：對(duì)①中的m值，能使四邊形ABCD為矩形的點(diǎn)B共有幾個(gè)？(不必說(shuō)理)

(3)試探究：四邊形ABCD能不能是菱形？若能，直接寫(xiě)出B點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)平行四邊形　　(3分) 　　(2)∵點(diǎn)在的圖象上，∴ 　　∴　　(4分) 　　過(guò)作，則 　　在中， 　　α＝30°　　(5分) 　　∴ 　　又∵點(diǎn)B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)， 　　∴點(diǎn)B、D關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱　　(6分) 　　∴OB＝OD＝ 　　∵四邊形為矩形，且 　　 　　∴　　(7分) 　　∴　　(8分) 　　能使四邊形為矩形的點(diǎn)B共有2個(gè)　　(9分) 　　(3)四邊形不能是菱形　　(10分) 　　法一：∵點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、 　　∴四邊形的對(duì)角線在軸上． 　　又∵點(diǎn)、分別是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)在第一、三象限的交點(diǎn)． 　　∴對(duì)角線與不可能垂直． 　　∴四邊形不能是菱形 　　法二：若四邊形ABCD為菱形，則對(duì)角線AC⊥BD，且AC與BD互相平分， 　　因?yàn)辄c(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(－m，0)、(m，0) 　　所以點(diǎn)A、C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，且AC在x軸上　　(11分) 　　所以BD應(yīng)在y軸上，這與“點(diǎn)B、D分別在第一、三象限”矛盾， 　　所以四邊形ABCD不可能為菱形　　(12分)