Question

（2001•天津）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，D為斜邊BC的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D的⊙O與邊AB、AC、BC分別相交于點(diǎn)E、F、M．對(duì)于如下五個(gè)結(jié)論：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM²=BE•BA；⑤四邊形AEMF為矩形．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A．2個(gè)
B．3個(gè)
C．4個(gè)
D．5個(gè)

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和直徑所對(duì)的圓周角是90°，90°圓周角所對(duì)的弦是直徑逐項(xiàng)判斷后利用排除法求解．
解答：解：連接AM，根據(jù)等腰三角形的三線合一，得AD⊥BC，
再根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，得EF、AM是直徑，
根據(jù)對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形，得四邊形AEMF是矩形，
∴①根據(jù)等腰直角三角形ABC的底角是45°，易得∠FMC=45°，正確；
②根據(jù)矩形和等腰直角三角形的性質(zhì)，得AE+AF=AB，正確；
③連接FD，可以證明△EDF是等腰直角三角形，則③中左右兩邊的比都是等腰直角三角形的直角邊和斜邊的比，正確；
④根據(jù)BM=BE，得左邊=4BE²，故需證明AB=4BE，根據(jù)已知條件它們之間不一定有這種關(guān)系，錯(cuò)誤；
⑤正確．
所以①②③⑤共4個(gè)正確．故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題注意熟練運(yùn)用圓周角定理的推論發(fā)現(xiàn)矩形和等腰直角三角形．