Question

【題目】已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c+1，
①當(dāng)b=1時(shí)，求這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸的方程；
②若c= b2﹣2b，問(wèn)：b為何值時(shí)，二次函數(shù)的圖象與x軸相切？
③若二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），且x1＜x2 ， 與y軸的正半軸交于點(diǎn)M，以AB為直徑的半圓恰好過(guò)點(diǎn)M，二次函數(shù)的對(duì)稱軸l與x軸、直線BM、直線AM分別交于點(diǎn)D、E、F，且滿足 = ，求二次函數(shù)的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】解：①二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c+1的對(duì)稱軸為x= ，
當(dāng)b=1時(shí)， = ，
∴當(dāng)b=1時(shí)，求這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸的方程為x= ．
②二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ），
∵二次函數(shù)的圖象與x軸相切且c= b2﹣2b，
∴ ，解得：b=2+ 或b=2﹣ ，
∴b為2+ 或2﹣ 時(shí)，二次函數(shù)的圖象與x軸相切．
③∵AB是半圓的直徑，
∴∠AMB=90°，
∴∠OAM+∠OBM=90°，
∵∠AOM=∠MOB=90°，
∴∠OAM+∠OMA=90°，
∴∠OMA=∠OBM，
∴△OAM∽△OMB，
∴ ，
∴OM2=OAOB，
∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），
∴OA=﹣x1 ， OB=x2 ， x1+x2 ， =b，x1x2=﹣（c+1），
∵OM=c+1，
∴（c+1）2=c+1，
解得：c=0或c=﹣1（舍去），
∴c=0，OM=1，
∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸l與x軸、直線BM、直線AM分別交于點(diǎn)D、E、F，且滿足 = ，
∴AD=BD，DF=4DE，
DF∥OM，
∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，
∴ ， ，
∴DE= ，DF= ，
∴ ×4，
∴OB=4OA，即x2=﹣4x1 ，
∵x1x2=﹣（c+1）=﹣1，
∴ ，解得： ，
∴b=﹣ +2= ，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+ x+1．
【解析】①二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c+1的對(duì)稱軸為x= ，即可得出答案；②二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ），y由二次函數(shù)的圖象與x軸相切且c= b2﹣2b，得出方程組 ，求出b即可；③由圓周角定理得出∠AMB=90°，證出∠OMA=∠OBM，得出△OAM∽△OMB，得出OM2=OAOB，由二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)和根與系數(shù)關(guān)系得出OA=﹣x1 ， OB=x2 ， x1+x2 ， =b，x1x2=﹣（c+1），得出方程（c+1）2=c+1，得出c=0，OM=1，證明△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，得出 ， ，得出OB=4OA，即x2=﹣4x1 ， 由x1x2=﹣（c+1）=﹣1，得出方程組 ，解方程組求出b的值即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的相似三角形的應(yīng)用，需要了解測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解才能得出正確答案．